Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 777 / 1289
↖ ↑ ↗
← S 42.163403°
W 43.417969°		 ← 14.488 km → S 42.163403°
W 43.242188°		 →
↑
14.473 km
↓
↑
14.473 km
↓
S 42.293564°
W 43.417969°		 ← 14.458 km →
209.475 km²		 S 42.293564°
W 43.242188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379638671875 y=0.629638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379638671875 × 211)
    floor (0.379638671875 × 2048)
    floor (777.5)     		tx = 777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629638671875 × 211)
    floor (0.629638671875 × 2048)
    floor (1289.5)     		ty = 1289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 777 / 1289 ti = "11/777/1289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/777/1289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 777 ÷ 211
    777 ÷ 2048     		x = 0.37939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1289 ÷ 211
    1289 ÷ 2048     		y = 0.62939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75778651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.813009817556152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75778651} λ = -0.75778651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813009817556152))-π/2
    2×atan(0.443521137570162)-π/2
    2×0.41745305660638-π/2
    0.834906113212761-1.57079632675     		φ = -0.73589021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75778651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73589021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.163403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 777 KachelY 1289 -0.75778651 -0.73589021 -43.417969 -42.163403
    Oben rechts KachelX + 1 778 KachelY 1289 -0.75471855 -0.73589021 -43.242188 -42.163403
    Unten links KachelX 777 KachelY + 1 1290 -0.75778651 -0.73816195 -43.417969 -42.293564
    Unten rechts KachelX + 1 778 KachelY + 1 1290 -0.75471855 -0.73816195 -43.242188 -42.293564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73589021--0.73816195) × R
    0.00227173999999997 × 6371000     		dl = 14473.2555399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73589021--0.73816195) × R
    0.00227173999999997 × 6371000     		dr = 14473.2555399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75778651--0.75471855) × cos(-0.73589021) × R
    0.00306795999999998 × 0.741233496148639 × 6371000     		do = 14488.1300210142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75778651--0.75471855) × cos(-0.73816195) × R
    0.00306795999999998 × 0.739706685496696 × 6371000     		du = 14458.2870209909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73589021)-sin(-0.73816195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741233496148639-0.739706685496696)×R²
    abs(-0.75471855--0.75778651)×0.00152681065194316×R²
    0.00306795999999998×0.00152681065194316×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152681065194316×40589641000000     		ar = 209474535.496249m²