Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 777 / 1801
↖ ↑ ↗
← S 79.464560°
W 43.417969°		 ← 3 573.86 m → S 79.464560°
W 43.242188°		 →
↑
3 568.46 m
↓
↑
3 568.46 m
↓
S 79.496652°
W 43.417969°		 ← 3 563.09 m →
12 733 966 m²		 S 79.496652°
W 43.242188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379638671875 y=0.879638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379638671875 × 211)
    floor (0.379638671875 × 2048)
    floor (777.5)     		tx = 777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879638671875 × 211)
    floor (0.879638671875 × 2048)
    floor (1801.5)     		ty = 1801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 777 / 1801 ti = "11/777/1801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/777/1801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 777 ÷ 211
    777 ÷ 2048     		x = 0.37939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1801 ÷ 211
    1801 ÷ 2048     		y = 0.87939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75778651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87939453125 × 2 - 1) × π
    -0.7587890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38380614430615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75778651} λ = -0.75778651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38380614430615))-π/2
    2×atan(0.0921989861848328)-π/2
    2×0.0919390600962043-π/2
    0.183878120192409-1.57079632675     		φ = -1.38691821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75778651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38691821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.464560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 777 KachelY 1801 -0.75778651 -1.38691821 -43.417969 -79.464560
    Oben rechts KachelX + 1 778 KachelY 1801 -0.75471855 -1.38691821 -43.242188 -79.464560
    Unten links KachelX 777 KachelY + 1 1802 -0.75778651 -1.38747832 -43.417969 -79.496652
    Unten rechts KachelX + 1 778 KachelY + 1 1802 -0.75471855 -1.38747832 -43.242188 -79.496652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38691821--1.38747832) × R
    0.000560110000000114 × 6371000     		dl = 3568.46081000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38691821--1.38747832) × R
    0.000560110000000114 × 6371000     		dr = 3568.46081000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75778651--0.75471855) × cos(-1.38691821) × R
    0.00306795999999998 × 0.182843678328536 × 6371000     		do = 3573.85762908521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75778651--0.75471855) × cos(-1.38747832) × R
    0.00306795999999998 × 0.182292982011374 × 6371000     		du = 3563.09373365065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38691821)-sin(-1.38747832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182843678328536-0.182292982011374)×R²
    abs(-0.75471855--0.75778651)×0.000550696317162341×R²
    0.00306795999999998×0.000550696317162341×6371000²
    0.00306795999999998×0.000550696317162341×40589641000000     		ar = 12733965.9533153m²