Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 778 / 1802
↖ ↑ ↗
← S 79.496652°
W 43.242188°		 ← 3 563.09 m → S 79.496652°
W 43.066406°		 →
↑
3 557.69 m
↓
↑
3 557.69 m
↓
S 79.528647°
W 43.242188°		 ← 3 552.36 m →
12 657 305 m²		 S 79.528647°
W 43.066406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380126953125 y=0.880126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380126953125 × 211)
    floor (0.380126953125 × 2048)
    floor (778.5)     		tx = 778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.880126953125 × 211)
    floor (0.880126953125 × 2048)
    floor (1802.5)     		ty = 1802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 778 / 1802 ti = "11/778/1802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/778/1802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 778 ÷ 211
    778 ÷ 2048     		x = 0.3798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1802 ÷ 211
    1802 ÷ 2048     		y = 0.8798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75471855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8798828125 × 2 - 1) × π
    -0.759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38687410588184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75471855} λ = -0.75471855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38687410588184))-π/2
    2×atan(0.0919165567008311)-π/2
    2×0.0916590039868273-π/2
    0.183318007973655-1.57079632675     		φ = -1.38747832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75471855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.242188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38747832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.496652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 778 KachelY 1802 -0.75471855 -1.38747832 -43.242188 -79.496652
    Oben rechts KachelX + 1 779 KachelY 1802 -0.75165059 -1.38747832 -43.066406 -79.496652
    Unten links KachelX 778 KachelY + 1 1803 -0.75471855 -1.38803674 -43.242188 -79.528647
    Unten rechts KachelX + 1 779 KachelY + 1 1803 -0.75165059 -1.38803674 -43.066406 -79.528647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38747832--1.38803674) × R
    0.000558419999999948 × 6371000     		dl = 3557.69381999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38747832--1.38803674) × R
    0.000558419999999948 × 6371000     		dr = 3557.69381999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75471855--0.75165059) × cos(-1.38747832) × R
    0.00306795999999998 × 0.182292982011374 × 6371000     		do = 3563.09373365065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75471855--0.75165059) × cos(-1.38803674) × R
    0.00306795999999998 × 0.181743890359503 × 6371000     		du = 3552.36120296081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38747832)-sin(-1.38803674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182292982011374-0.181743890359503)×R²
    abs(-0.75165059--0.75471855)×0.000549091651870642×R²
    0.00306795999999998×0.000549091651870642×6371000²
    0.00306795999999998×0.000549091651870642×40589641000000     		ar = 12657305.3561418m²