Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77828 / 77828
↖ ↑ ↗
← S 31.961483°
E 33.760986°		 ← 259.12 m → S 31.961483°
E 33.763733°		 →
↑
259.11 m
↓
↑
259.11 m
↓
S 31.963814°
E 33.760986°		 ← 259.12 m →
67 141 m²		 S 31.963814°
E 33.763733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593784332275391 y=0.593784332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593784332275391 × 217)
    floor (0.593784332275391 × 131072)
    floor (77828.5)     		tx = 77828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593784332275391 × 217)
    floor (0.593784332275391 × 131072)
    floor (77828.5)     		ty = 77828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77828 / 77828 ti = "17/77828/77828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77828/77828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77828 ÷ 217
    77828 ÷ 131072     		x = 0.593780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77828 ÷ 217
    77828 ÷ 131072     		y = 0.593780517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593780517578125 × 2 - 1) × π
    0.18756103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58924037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.18756103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.58924037012973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58924037} λ = 0.58924037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58924037012973))-π/2
    2×atan(0.554748528272228)-π/2
    2×0.50648160245641-π/2
    1.01296320491282-1.57079632675     		φ = -0.55783312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58924037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.760986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55783312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.961483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77828 KachelY 77828 0.58924037 -0.55783312 33.760986 -31.961483
    Oben rechts KachelX + 1 77829 KachelY 77828 0.58928831 -0.55783312 33.763733 -31.961483
    Unten links KachelX 77828 KachelY + 1 77829 0.58924037 -0.55787379 33.760986 -31.963814
    Unten rechts KachelX + 1 77829 KachelY + 1 77829 0.58928831 -0.55787379 33.763733 -31.963814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55783312--0.55787379) × R
    4.06700000000759e-05 × 6371000     		dl = 259.108570000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55783312--0.55787379) × R
    4.06700000000759e-05 × 6371000     		dr = 259.108570000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58924037-0.58928831) × cos(-0.55783312) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.84840413777434 × 6371000     		do = 259.12446159922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58924037-0.58928831) × cos(-0.55787379) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.848382608446744 × 6371000     		du = 259.117885988407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55783312)-sin(-0.55787379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84840413777434-0.848382608446744)×R²
    abs(0.58928831-0.58924037)×2.15293275958039e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.15293275958039e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.15293275958039e-05×40589641000000     		ar = 67140.5168076818m²