Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77840 / 77840
↖ ↑ ↗
← S 31.989442°
E 33.793945°		 ← 259.05 m → S 31.989442°
E 33.796692°		 →
↑
258.98 m
↓
↑
258.98 m
↓
S 31.991771°
E 33.793945°		 ← 259.04 m →
67 087 m²		 S 31.991771°
E 33.796692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593875885009766 y=0.593875885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593875885009766 × 217)
    floor (0.593875885009766 × 131072)
    floor (77840.5)     		tx = 77840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593875885009766 × 217)
    floor (0.593875885009766 × 131072)
    floor (77840.5)     		ty = 77840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77840 / 77840 ti = "17/77840/77840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77840/77840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77840 ÷ 217
    77840 ÷ 131072     		x = 0.5938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77840 ÷ 217
    77840 ÷ 131072     		y = 0.5938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5938720703125 × 2 - 1) × π
    0.187744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58981561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.589815612925171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58981561} λ = 0.58981561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.589815612925171))-π/2
    2×atan(0.55442950494479)-π/2
    2×0.506237620431107-π/2
    1.01247524086221-1.57079632675     		φ = -0.55832109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58981561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.793945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55832109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.989442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77840 KachelY 77840 0.58981561 -0.55832109 33.793945 -31.989442
    Oben rechts KachelX + 1 77841 KachelY 77840 0.58986355 -0.55832109 33.796692 -31.989442
    Unten links KachelX 77840 KachelY + 1 77841 0.58981561 -0.55836174 33.793945 -31.991771
    Unten rechts KachelX + 1 77841 KachelY + 1 77841 0.58986355 -0.55836174 33.796692 -31.991771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55832109--0.55836174) × R
    4.06500000000865e-05 × 6371000     		dl = 258.981150000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55832109--0.55836174) × R
    4.06500000000865e-05 × 6371000     		dr = 258.981150000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58981561-0.58986355) × cos(-0.55832109) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848145730318861 × 6371000     		do = 259.045537310309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58981561-0.58986355) × cos(-0.55836174) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848124194752784 × 6371000     		du = 259.038959794103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55832109)-sin(-0.55836174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848145730318861-0.848124194752784)×R²
    abs(0.58986355-0.58981561)×2.1535566076869e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1535566076869e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1535566076869e-05×40589641000000     		ar = 67087.0594380326m²