Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 779 / 1291
↖ ↑ ↗
← S 42.423457°
W 43.066406°		 ← 14.428 km → S 42.423457°
W 42.890625°		 →
↑
14.413 km
↓
↑
14.413 km
↓
S 42.553080°
W 43.066406°		 ← 14.399 km →
207.750 km²		 S 42.553080°
W 42.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380615234375 y=0.630615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380615234375 × 211)
    floor (0.380615234375 × 2048)
    floor (779.5)     		tx = 779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630615234375 × 211)
    floor (0.630615234375 × 2048)
    floor (1291.5)     		ty = 1291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 779 / 1291 ti = "11/779/1291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/779/1291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 779 ÷ 211
    779 ÷ 2048     		x = 0.38037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1291 ÷ 211
    1291 ÷ 2048     		y = 0.63037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75165059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.81914574070752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75165059} λ = -0.75165059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81914574070752))-π/2
    2×atan(0.440808058089803)-π/2
    2×0.415183665248754-π/2
    0.830367330497507-1.57079632675     		φ = -0.74042900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75165059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74042900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.423457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 779 KachelY 1291 -0.75165059 -0.74042900 -43.066406 -42.423457
    Oben rechts KachelX + 1 780 KachelY 1291 -0.74858262 -0.74042900 -42.890625 -42.423457
    Unten links KachelX 779 KachelY + 1 1292 -0.75165059 -0.74269136 -43.066406 -42.553080
    Unten rechts KachelX + 1 780 KachelY + 1 1292 -0.74858262 -0.74269136 -42.890625 -42.553080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74042900--0.74269136) × R
    0.00226236000000002 × 6371000     		dl = 14413.4955600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74042900--0.74269136) × R
    0.00226236000000002 × 6371000     		dr = 14413.4955600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75165059--0.74858262) × cos(-0.74042900) × R
    0.00306797000000003 × 0.738179221270127 × 6371000     		do = 14428.4782756139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75165059--0.74858262) × cos(-0.74269136) × R
    0.00306797000000003 × 0.736651134889731 × 6371000     		du = 14398.6102428822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74042900)-sin(-0.74269136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738179221270127-0.736651134889731)×R²
    abs(-0.74858262--0.75165059)×0.00152808638039648×R²
    0.00306797000000003×0.00152808638039648×6371000²
    0.00306797000000003×0.00152808638039648×40589641000000     		ar = 207749644.794495m²