Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 78 / 54
↖ ↑ ↗
← N 27.059126°
E 39.375000°		 ← 278.503 km → N 27.059126°
E 42.187500°		 →
↑
281.545 km
↓
↑
281.545 km
↓
N 24.527135°
E 39.375000°		 ← 284.516 km →
79 270.4 km²		 N 24.527135°
E 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61328125 y=0.42578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61328125 × 27)
    floor (0.61328125 × 128)
    floor (78.5)     		tx = 78
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42578125 × 27)
    floor (0.42578125 × 128)
    floor (54.5)     		ty = 54
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 78 / 54 ti = "7/78/54"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/78/54.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78 ÷ 27
    78 ÷ 128     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54 ÷ 27
    54 ÷ 128     		y = 0.421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421875 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Φ = 0.490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490873852109375))-π/2
    2×atan(1.63374324634155)-π/2
    2×1.02153358221551-π/2
    2.04306716443102-1.57079632675     		φ = 0.47227084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47227084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.059126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78 KachelY 54 0.68722339 0.47227084 39.375000 27.059126
    Oben rechts KachelX + 1 79 KachelY 54 0.73631078 0.47227084 42.187500 27.059126
    Unten links KachelX 78 KachelY + 1 55 0.68722339 0.42807926 39.375000 24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 79 KachelY + 1 55 0.73631078 0.42807926 42.187500 24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47227084-0.42807926) × R
    0.04419158 × 6371000     		dl = 281544.55618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47227084-0.42807926) × R
    0.04419158 × 6371000     		dr = 281544.55618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.73631078) × cos(0.47227084) × R
    0.0490873900000001 × 0.890537558006442 × 6371000     		do = 278502.941516698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.73631078) × cos(0.42807926) × R
    0.0490873900000001 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 284515.979214974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47227084)-sin(0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890537558006442-0.909764772910752)×R²
    abs(0.73631078-0.68722339)×0.0192272149043099×R²
    0.0490873900000001×0.0192272149043099×6371000²
    0.0490873900000001×0.0192272149043099×40589641000000     		ar = 79270357060.9845m²