Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7808 / 3712
↖ ↑ ↗
← N 16.636192°
E163.125000°		 ← 4 681.95 m → N 16.636192°
E163.168945°		 →
↑
4 682.43 m
↓
↑
4 682.43 m
↓
N 16.594082°
E163.125000°		 ← 4 682.98 m →
21 925 328 m²		 N 16.594082°
E163.168945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.95318603515625 y=0.45318603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.95318603515625 × 213)
    floor (0.95318603515625 × 8192)
    floor (7808.5)     		tx = 7808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45318603515625 × 213)
    floor (0.45318603515625 × 8192)
    floor (3712.5)     		ty = 3712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7808 / 3712 ti = "13/7808/3712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7808/3712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7808 ÷ 213
    7808 ÷ 8192     		x = 0.953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3712 ÷ 213
    3712 ÷ 8192     		y = 0.453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.953125 × 2 - 1) × π
    0.90625 × 3.1415926535     		Λ = 2.84706834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453125 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Φ = 0.294524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.84706834} λ = 2.84706834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.294524311265625))-π/2
    2×atan(1.34248760054568)-π/2
    2×0.930576325029205-π/2
    1.86115265005841-1.57079632675     		φ = 0.29035632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.84706834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 163.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29035632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.636192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7808 KachelY 3712 2.84706834 0.29035632 163.125000 16.636192
    Oben rechts KachelX + 1 7809 KachelY 3712 2.84783533 0.29035632 163.168945 16.636192
    Unten links KachelX 7808 KachelY + 1 3713 2.84706834 0.28962136 163.125000 16.594082
    Unten rechts KachelX + 1 7809 KachelY + 1 3713 2.84783533 0.28962136 163.168945 16.594082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29035632-0.28962136) × R
    0.000734960000000007 × 6371000     		dl = 4682.43016000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29035632-0.28962136) × R
    0.000734960000000007 × 6371000     		dr = 4682.43016000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.84706834-2.84783533) × cos(0.29035632) × R
    0.000766990000000245 × 0.958141924186794 × 6371000     		do = 4681.95408340796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.84706834-2.84783533) × cos(0.28962136) × R
    0.000766990000000245 × 0.958352079769751 × 6371000     		du = 4682.98100725393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29035632)-sin(0.28962136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958141924186794-0.958352079769751)×R²
    abs(2.84783533-2.84706834)×0.000210155582956562×R²
    0.000766990000000245×0.000210155582956562×6371000²
    0.000766990000000245×0.000210155582956562×40589641000000     		ar = 21925328.2444218m²