Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 785 / 1297
↖ ↑ ↗
← S 43.197167°
W 42.011719°		 ← 14.249 km → S 43.197167°
W 41.835938°		 →
↑
14.234 km
↓
↑
14.234 km
↓
S 43.325178°
W 42.011719°		 ← 14.219 km →
202.610 km²		 S 43.325178°
W 41.835938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383544921875 y=0.633544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383544921875 × 211)
    floor (0.383544921875 × 2048)
    floor (785.5)     		tx = 785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633544921875 × 211)
    floor (0.633544921875 × 2048)
    floor (1297.5)     		ty = 1297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 785 / 1297 ti = "11/785/1297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/785/1297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 785 ÷ 211
    785 ÷ 2048     		x = 0.38330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1297 ÷ 211
    1297 ÷ 2048     		y = 0.63330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73324282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.837553510161621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73324282} λ = -0.73324282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837553510161621))-π/2
    2×atan(0.432767991853207)-π/2
    2×0.408431765098965-π/2
    0.81686353019793-1.57079632675     		φ = -0.75393280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73324282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75393280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.197167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 785 KachelY 1297 -0.73324282 -0.75393280 -42.011719 -43.197167
    Oben rechts KachelX + 1 786 KachelY 1297 -0.73017486 -0.75393280 -41.835938 -43.197167
    Unten links KachelX 785 KachelY + 1 1298 -0.73324282 -0.75616700 -42.011719 -43.325178
    Unten rechts KachelX + 1 786 KachelY + 1 1298 -0.73017486 -0.75616700 -41.835938 -43.325178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75393280--0.75616700) × R
    0.00223420000000008 × 6371000     		dl = 14234.0882000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75393280--0.75616700) × R
    0.00223420000000008 × 6371000     		dr = 14234.0882000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73324282--0.73017486) × cos(-0.75393280) × R
    0.00306795999999998 × 0.729002468391097 × 6371000     		do = 14249.062680746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73324282--0.73017486) × cos(-0.75616700) × R
    0.00306795999999998 × 0.727471315575443 × 6371000     		du = 14219.1348089074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75393280)-sin(-0.75616700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729002468391097-0.727471315575443)×R²
    abs(-0.73017486--0.73324282)×0.00153115281565441×R²
    0.00306795999999998×0.00153115281565441×6371000²
    0.00306795999999998×0.00153115281565441×40589641000000     		ar = 202609501.261023m²