Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 786 / 274
↖ ↑ ↗
← N 78.560488°
W 41.835938°		 ← 3 876.63 m → N 78.560488°
W 41.660156°		 →
↑
3 882.42 m
↓
↑
3 882.42 m
↓
N 78.525573°
W 41.835938°		 ← 3 888.30 m →
15 073 382 m²		 N 78.525573°
W 41.660156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384033203125 y=0.134033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384033203125 × 211)
    floor (0.384033203125 × 2048)
    floor (786.5)     		tx = 786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134033203125 × 211)
    floor (0.134033203125 × 2048)
    floor (274.5)     		ty = 274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 786 / 274 ti = "11/786/274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/786/274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 786 ÷ 211
    786 ÷ 2048     		x = 0.3837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 274 ÷ 211
    274 ÷ 2048     		y = 0.1337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    -0.232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73017486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1337890625 × 2 - 1) × π
    0.732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3009711817627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73017486} λ = -0.73017486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3009711817627))-π/2
    2×atan(9.98387390423035)-π/2
    2×1.47096775465594-π/2
    2.94193550931187-1.57079632675     		φ = 1.37113918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73017486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.835938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37113918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.560488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 786 KachelY 274 -0.73017486 1.37113918 -41.835938 78.560488
    Oben rechts KachelX + 1 787 KachelY 274 -0.72710689 1.37113918 -41.660156 78.560488
    Unten links KachelX 786 KachelY + 1 275 -0.73017486 1.37052979 -41.835938 78.525573
    Unten rechts KachelX + 1 787 KachelY + 1 275 -0.72710689 1.37052979 -41.660156 78.525573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37113918-1.37052979) × R
    0.000609389999999932 × 6371000     		dl = 3882.42368999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37113918-1.37052979) × R
    0.000609389999999932 × 6371000     		dr = 3882.42368999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73017486--0.72710689) × cos(1.37113918) × R
    0.00306797000000003 × 0.198333300157594 × 6371000     		do = 3876.62999742915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73017486--0.72710689) × cos(1.37052979) × R
    0.00306797000000003 × 0.198930547539492 × 6371000     		du = 3888.30381677623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37113918)-sin(1.37052979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198333300157594-0.198930547539492)×R²
    abs(-0.72710689--0.73017486)×0.000597247381897842×R²
    0.00306797000000003×0.000597247381897842×6371000²
    0.00306797000000003×0.000597247381897842×40589641000000     		ar = 15073381.9622395m²