Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 788 / 1301
↖ ↑ ↗
← S 43.707593°
W 41.484375°		 ← 14.129 km → S 43.707593°
W 41.308594°		 →
↑
14.114 km
↓
↑
14.114 km
↓
S 43.834527°
W 41.484375°		 ← 14.099 km →
199.215 km²		 S 43.834527°
W 41.308594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.385009765625 y=0.635498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.385009765625 × 211)
    floor (0.385009765625 × 2048)
    floor (788.5)     		tx = 788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635498046875 × 211)
    floor (0.635498046875 × 2048)
    floor (1301.5)     		ty = 1301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 788 / 1301 ti = "11/788/1301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/788/1301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 788 ÷ 211
    788 ÷ 2048     		x = 0.384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1301 ÷ 211
    1301 ÷ 2048     		y = 0.63525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384765625 × 2 - 1) × π
    -0.23046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72403893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63525390625 × 2 - 1) × π
    -0.2705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.849825356464356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72403893} λ = -0.72403893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849825356464356))-π/2
    2×atan(0.427489583722165)-π/2
    2×0.403977456021723-π/2
    0.807954912043446-1.57079632675     		φ = -0.76284141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72403893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76284141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.707593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 788 KachelY 1301 -0.72403893 -0.76284141 -41.484375 -43.707593
    Oben rechts KachelX + 1 789 KachelY 1301 -0.72097097 -0.76284141 -41.308594 -43.707593
    Unten links KachelX 788 KachelY + 1 1302 -0.72403893 -0.76505682 -41.484375 -43.834527
    Unten rechts KachelX + 1 789 KachelY + 1 1302 -0.72097097 -0.76505682 -41.308594 -43.834527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76284141--0.76505682) × R
    0.00221540999999992 × 6371000     		dl = 14114.3771099995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76284141--0.76505682) × R
    0.00221540999999992 × 6371000     		dr = 14114.3771099995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72403893--0.72097097) × cos(-0.76284141) × R
    0.00306795999999998 × 0.72287557907163 × 6371000     		do = 14129.3066665534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72403893--0.72097097) × cos(-0.76505682) × R
    0.00306795999999998 × 0.721343006319873 × 6371000     		du = 14099.3510406819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76284141)-sin(-0.76505682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72287557907163-0.721343006319873)×R²
    abs(-0.72097097--0.72403893)×0.00153257275175667×R²
    0.00306795999999998×0.00153257275175667×6371000²
    0.00306795999999998×0.00153257275175667×40589641000000     		ar = 199215041.574153m²