Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 788 / 1812
↖ ↑ ↗
← S 79.812302°
W 41.484375°		 ← 3 457.16 m → S 79.812302°
W 41.308594°		 →
↑
3 451.94 m
↓
↑
3 451.94 m
↓
S 79.843346°
W 41.484375°		 ← 3 446.74 m →
11 915 912 m²		 S 79.843346°
W 41.308594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.385009765625 y=0.885009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.385009765625 × 211)
    floor (0.385009765625 × 2048)
    floor (788.5)     		tx = 788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.885009765625 × 211)
    floor (0.885009765625 × 2048)
    floor (1812.5)     		ty = 1812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 788 / 1812 ti = "11/788/1812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/788/1812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 788 ÷ 211
    788 ÷ 2048     		x = 0.384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1812 ÷ 211
    1812 ÷ 2048     		y = 0.884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384765625 × 2 - 1) × π
    -0.23046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72403893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884765625 × 2 - 1) × π
    -0.76953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41755372163867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72403893} λ = -0.72403893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41755372163867))-π/2
    2×atan(0.0891394107709529)-π/2
    2×0.0889044343380513-π/2
    0.177808868676103-1.57079632675     		φ = -1.39298746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72403893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39298746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.812302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 788 KachelY 1812 -0.72403893 -1.39298746 -41.484375 -79.812302
    Oben rechts KachelX + 1 789 KachelY 1812 -0.72097097 -1.39298746 -41.308594 -79.812302
    Unten links KachelX 788 KachelY + 1 1813 -0.72403893 -1.39352928 -41.484375 -79.843346
    Unten rechts KachelX + 1 789 KachelY + 1 1813 -0.72097097 -1.39352928 -41.308594 -79.843346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39298746--1.39352928) × R
    0.000541820000000026 × 6371000     		dl = 3451.93522000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39298746--1.39352928) × R
    0.000541820000000026 × 6371000     		dr = 3451.93522000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72403893--0.72097097) × cos(-1.39298746) × R
    0.00306795999999998 × 0.17687341280078 × 6371000     		do = 3457.16297932163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72403893--0.72097097) × cos(-1.39352928) × R
    0.00306795999999998 × 0.176340109410918 × 6371000     		du = 3446.73904557725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39298746)-sin(-1.39352928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17687341280078-0.176340109410918)×R²
    abs(-0.72097097--0.72403893)×0.000533303389861628×R²
    0.00306795999999998×0.000533303389861628×6371000²
    0.00306795999999998×0.000533303389861628×40589641000000     		ar = 11915911.5691044m²