Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 788 / 788
↖ ↑ ↗
← S 69.162558°
E 97.031250°		 ← 13.906 km → S 69.162558°
E 97.382812°		 →
↑
13.866 km
↓
↑
13.866 km
↓
S 69.287257°
E 97.031250°		 ← 13.826 km →
192.264 km²		 S 69.287257°
E 97.382812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77001953125 y=0.77001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77001953125 × 210)
    floor (0.77001953125 × 1024)
    floor (788.5)     		tx = 788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77001953125 × 210)
    floor (0.77001953125 × 1024)
    floor (788.5)     		ty = 788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 788 / 788 ti = "10/788/788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/788/788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 788 ÷ 210
    788 ÷ 1024     		x = 0.76953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 788 ÷ 210
    788 ÷ 1024     		y = 0.76953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76953125 × 2 - 1) × π
    0.5390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69351479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76953125 × 2 - 1) × π
    -0.5390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69351478977734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69351479} λ = 1.69351479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69351478977734))-π/2
    2×atan(0.183872115075954)-π/2
    2×0.18184098610722-π/2
    0.363681972214441-1.57079632675     		φ = -1.20711435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69351479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20711435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.162558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 788 KachelY 788 1.69351479 -1.20711435 97.031250 -69.162558
    Oben rechts KachelX + 1 789 KachelY 788 1.69965071 -1.20711435 97.382812 -69.162558
    Unten links KachelX 788 KachelY + 1 789 1.69351479 -1.20929076 97.031250 -69.287257
    Unten rechts KachelX + 1 789 KachelY + 1 789 1.69965071 -1.20929076 97.382812 -69.287257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20711435--1.20929076) × R
    0.00217641000000013 × 6371000     		dl = 13865.9081100008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20711435--1.20929076) × R
    0.00217641000000013 × 6371000     		dr = 13865.9081100008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69351479-1.69965071) × cos(-1.20711435) × R
    0.00613591999999996 × 0.355717787996262 × 6371000     		do = 13905.7006734189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69351479-1.69965071) × cos(-1.20929076) × R
    0.00613591999999996 × 0.353682888668491 × 6371000     		du = 13826.1524981311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20711435)-sin(-1.20929076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355717787996262-0.353682888668491)×R²
    abs(1.69965071-1.69351479)×0.00203489932777123×R²
    0.00613591999999996×0.00203489932777123×6371000²
    0.00613591999999996×0.00203489932777123×40589641000000     		ar = 192263739.790656m²