Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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7 / 79 / 14
↖ ↑ ↗
← N 80.178713°
E 42.187500°		 ← 53.345 km → N 80.178713°
E 45.000000°		 →
↑
54.656 km
↓
↑
54.656 km
↓
N 79.687184°
E 42.187500°		 ← 55.987 km →
2 987.81 km²		 N 79.687184°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62109375 y=0.11328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62109375 × 27)
    floor (0.62109375 × 128)
    floor (79.5)     		tx = 79
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11328125 × 27)
    floor (0.11328125 × 128)
    floor (14.5)     		ty = 14
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 79 / 14 ti = "7/79/14"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/79/14.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79 ÷ 27
    79 ÷ 128     		x = 0.6171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14 ÷ 27
    14 ÷ 128     		y = 0.109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6171875 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109375 × 2 - 1) × π
    0.78125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45436926054687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73631078} λ = 0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45436926054687))-π/2
    2×atan(11.6390899999285)-π/2
    2×1.48508943365266-π/2
    2.97017886730533-1.57079632675     		φ = 1.39938254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39938254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.178713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79 KachelY 14 0.73631078 1.39938254 42.187500 80.178713
    Oben rechts KachelX + 1 80 KachelY 14 0.78539816 1.39938254 45.000000 80.178713
    Unten links KachelX 79 KachelY + 1 15 0.73631078 1.39080374 42.187500 79.687184
    Unten rechts KachelX + 1 80 KachelY + 1 15 0.78539816 1.39080374 45.000000 79.687184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39938254-1.39080374) × R
    0.0085788 × 6371000     		dl = 54655.5348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39938254-1.39080374) × R
    0.0085788 × 6371000     		dr = 54655.5348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73631078-0.78539816) × cos(1.39938254) × R
    0.0490873799999999 × 0.170575586251288 × 6371000     		do = 53345.075024644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73631078-0.78539816) × cos(1.39080374) × R
    0.0490873799999999 × 0.179022279985821 × 6371000     		du = 55986.6576853365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39938254)-sin(1.39080374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170575586251288-0.179022279985821)×R²
    abs(0.78539816-0.73631078)×0.00844669373453311×R²
    0.0490873799999999×0.00844669373453311×6371000²
    0.0490873799999999×0.00844669373453311×40589641000000     		ar = 2987810485.15386m²