Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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7 / 79 / 15
↖ ↑ ↗
← N 79.687184°
E 42.187500°		 ← 55.987 km → N 79.687184°
E 45.000000°		 →
↑
57.360 km
↓
↑
57.360 km
↓
N 79.171334°
E 42.187500°		 ← 58.755 km →
3 290.79 km²		 N 79.171334°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62109375 y=0.12109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62109375 × 27)
    floor (0.62109375 × 128)
    floor (79.5)     		tx = 79
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12109375 × 27)
    floor (0.12109375 × 128)
    floor (15.5)     		ty = 15
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 79 / 15 ti = "7/79/15"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/79/15.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79 ÷ 27
    79 ÷ 128     		x = 0.6171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15 ÷ 27
    15 ÷ 128     		y = 0.1171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6171875 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1171875 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40528187533594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73631078} λ = 0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40528187533594))-π/2
    2×atan(11.0815534585964)-π/2
    2×1.48080003096091-π/2
    2.96160006192181-1.57079632675     		φ = 1.39080374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39080374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.687184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79 KachelY 15 0.73631078 1.39080374 42.187500 79.687184
    Oben rechts KachelX + 1 80 KachelY 15 0.78539816 1.39080374 45.000000 79.687184
    Unten links KachelX 79 KachelY + 1 16 0.73631078 1.38180046 42.187500 79.171334
    Unten rechts KachelX + 1 80 KachelY + 1 16 0.78539816 1.38180046 45.000000 79.171334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39080374-1.38180046) × R
    0.00900327999999995 × 6371000     		dl = 57359.8968799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39080374-1.38180046) × R
    0.00900327999999995 × 6371000     		dr = 57359.8968799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73631078-0.78539816) × cos(1.39080374) × R
    0.0490873799999999 × 0.179022279985821 × 6371000     		do = 55986.6576853365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73631078-0.78539816) × cos(1.38180046) × R
    0.0490873799999999 × 0.187872736870527 × 6371000     		du = 58754.5114966171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39080374)-sin(1.38180046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179022279985821-0.187872736870527)×R²
    abs(0.78539816-0.73631078)×0.00885045688470648×R²
    0.0490873799999999×0.00885045688470648×6371000²
    0.0490873799999999×0.00885045688470648×40589641000000     		ar = 3290793045.16044m²