Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 790 / 1302
↖ ↑ ↗
← S 43.834527°
W 41.132813°		 ← 14.099 km → S 43.834527°
W 40.957031°		 →
↑
14.084 km
↓
↑
14.084 km
↓
S 43.961191°
W 41.132813°		 ← 14.069 km →
198.370 km²		 S 43.961191°
W 40.957031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.385986328125 y=0.635986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.385986328125 × 211)
    floor (0.385986328125 × 2048)
    floor (790.5)     		tx = 790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635986328125 × 211)
    floor (0.635986328125 × 2048)
    floor (1302.5)     		ty = 1302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 790 / 1302 ti = "11/790/1302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/790/1302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 790 ÷ 211
    790 ÷ 2048     		x = 0.3857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1302 ÷ 211
    1302 ÷ 2048     		y = 0.6357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3857421875 × 2 - 1) × π
    -0.228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71790301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6357421875 × 2 - 1) × π
    -0.271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.852893318040039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71790301} λ = -0.71790301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852893318040039))-π/2
    2×atan(0.426180071898415)-π/2
    2×0.402869754204406-π/2
    0.805739508408813-1.57079632675     		φ = -0.76505682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71790301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.132813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76505682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.834527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 790 KachelY 1302 -0.71790301 -0.76505682 -41.132813 -43.834527
    Oben rechts KachelX + 1 791 KachelY 1302 -0.71483505 -0.76505682 -40.957031 -43.834527
    Unten links KachelX 790 KachelY + 1 1303 -0.71790301 -0.76726752 -41.132813 -43.961191
    Unten rechts KachelX + 1 791 KachelY + 1 1303 -0.71483505 -0.76726752 -40.957031 -43.961191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76505682--0.76726752) × R
    0.00221070000000001 × 6371000     		dl = 14084.3697000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76505682--0.76726752) × R
    0.00221070000000001 × 6371000     		dr = 14084.3697000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71790301--0.71483505) × cos(-0.76505682) × R
    0.00306795999999998 × 0.721343006319873 × 6371000     		do = 14099.3510406819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71790301--0.71483505) × cos(-0.76726752) × R
    0.00306795999999998 × 0.719810162741409 × 6371000     		du = 14069.3901212387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76505682)-sin(-0.76726752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721343006319873-0.719810162741409)×R²
    abs(-0.71483505--0.71790301)×0.00153284357846395×R²
    0.00306795999999998×0.00153284357846395×6371000²
    0.00306795999999998×0.00153284357846395×40589641000000     		ar = 198369563.043272m²