Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 791 / 1273
↖ ↑ ↗
← S 40.044437°
W 40.957031°		 ← 14.963 km → S 40.044437°
W 40.781250°		 →
↑
14.949 km
↓
↑
14.949 km
↓
S 40.178873°
W 40.957031°		 ← 14.934 km →
223.460 km²		 S 40.178873°
W 40.781250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386474609375 y=0.621826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386474609375 × 211)
    floor (0.386474609375 × 2048)
    floor (791.5)     		tx = 791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621826171875 × 211)
    floor (0.621826171875 × 2048)
    floor (1273.5)     		ty = 1273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 791 / 1273 ti = "11/791/1273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/791/1273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 791 ÷ 211
    791 ÷ 2048     		x = 0.38623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1273 ÷ 211
    1273 ÷ 2048     		y = 0.62158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38623046875 × 2 - 1) × π
    -0.2275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71483505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62158203125 × 2 - 1) × π
    -0.2431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.763922432345215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71483505} λ = -0.71483505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763922432345215))-π/2
    2×atan(0.465835630025795)-π/2
    2×0.435944521925413-π/2
    0.871889043850827-1.57079632675     		φ = -0.69890728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71483505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.957031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69890728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.044437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 791 KachelY 1273 -0.71483505 -0.69890728 -40.957031 -40.044437
    Oben rechts KachelX + 1 792 KachelY 1273 -0.71176709 -0.69890728 -40.781250 -40.044437
    Unten links KachelX 791 KachelY + 1 1274 -0.71483505 -0.70125363 -40.957031 -40.178873
    Unten rechts KachelX + 1 792 KachelY + 1 1274 -0.71176709 -0.70125363 -40.781250 -40.178873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69890728--0.70125363) × R
    0.00234634999999994 × 6371000     		dl = 14948.5958499996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69890728--0.70125363) × R
    0.00234634999999994 × 6371000     		dr = 14948.5958499996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71483505--0.71176709) × cos(-0.69890728) × R
    0.00306795999999998 × 0.765545680070707 × 6371000     		do = 14963.3353154159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71483505--0.71176709) × cos(-0.70125363) × R
    0.00306795999999998 × 0.764033975868385 × 6371000     		du = 14933.7875856514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69890728)-sin(-0.70125363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765545680070707-0.764033975868385)×R²
    abs(-0.71176709--0.71483505)×0.00151170420232261×R²
    0.00306795999999998×0.00151170420232261×6371000²
    0.00306795999999998×0.00151170420232261×40589641000000     		ar = 223460106.181913m²