Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 792 / 1304
↖ ↑ ↗
← S 44.087585°
W 40.781250°		 ← 14.039 km → S 44.087585°
W 40.605469°		 →
↑
14.024 km
↓
↑
14.024 km
↓
S 44.213710°
W 40.781250°		 ← 14.010 km →
196.685 km²		 S 44.213710°
W 40.605469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386962890625 y=0.636962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386962890625 × 211)
    floor (0.386962890625 × 2048)
    floor (792.5)     		tx = 792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636962890625 × 211)
    floor (0.636962890625 × 2048)
    floor (1304.5)     		ty = 1304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 792 / 1304 ti = "11/792/1304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/792/1304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 792 ÷ 211
    792 ÷ 2048     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1304 ÷ 211
    1304 ÷ 2048     		y = 0.63671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63671875 × 2 - 1) × π
    -0.2734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859029241191406))-π/2
    2×atan(0.423573070089346)-π/2
    2×0.400661404408348-π/2
    0.801322808816697-1.57079632675     		φ = -0.76947352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76947352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.087585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 792 KachelY 1304 -0.71176709 -0.76947352 -40.781250 -44.087585
    Oben rechts KachelX + 1 793 KachelY 1304 -0.70869912 -0.76947352 -40.605469 -44.087585
    Unten links KachelX 792 KachelY + 1 1305 -0.71176709 -0.77167481 -40.781250 -44.213710
    Unten rechts KachelX + 1 793 KachelY + 1 1305 -0.70869912 -0.77167481 -40.605469 -44.213710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76947352--0.77167481) × R
    0.00220129000000002 × 6371000     		dl = 14024.4185900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76947352--0.77167481) × R
    0.00220129000000002 × 6371000     		dr = 14024.4185900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.70869912) × cos(-0.76947352) × R
    0.00306797000000003 × 0.71827707137878 × 6371000     		do = 14039.4701200454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.70869912) × cos(-0.77167481) × R
    0.00306797000000003 × 0.716743769031627 × 6371000     		du = 14009.5001358351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76947352)-sin(-0.77167481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71827707137878-0.716743769031627)×R²
    abs(-0.70869912--0.71176709)×0.00153330234715254×R²
    0.00306797000000003×0.00153330234715254×6371000²
    0.00306797000000003×0.00153330234715254×40589641000000     		ar = 196685329.366287m²