Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 792 / 248
↖ ↑ ↗
← N 67.609220°
E 98.437500°		 ← 14.891 km → N 67.609220°
E 98.789063°		 →
↑
14.933 km
↓
↑
14.933 km
↓
N 67.474922°
E 98.437500°		 ← 14.976 km →
223.003 km²		 N 67.474922°
E 98.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77392578125 y=0.24267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77392578125 × 210)
    floor (0.77392578125 × 1024)
    floor (792.5)     		tx = 792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24267578125 × 210)
    floor (0.24267578125 × 1024)
    floor (248.5)     		ty = 248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 792 / 248 ti = "10/792/248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/792/248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 792 ÷ 210
    792 ÷ 1024     		x = 0.7734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 248 ÷ 210
    248 ÷ 1024     		y = 0.2421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7734375 × 2 - 1) × π
    0.546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71805848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2421875 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61988371196094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71805848} λ = 1.71805848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61988371196094))-π/2
    2×atan(5.05250273676466)-π/2
    2×1.37539991552054-π/2
    2.75079983104107-1.57079632675     		φ = 1.18000350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71805848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18000350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.609220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 792 KachelY 248 1.71805848 1.18000350 98.437500 67.609220
    Oben rechts KachelX + 1 793 KachelY 248 1.72419441 1.18000350 98.789063 67.609220
    Unten links KachelX 792 KachelY + 1 249 1.71805848 1.17765956 98.437500 67.474922
    Unten rechts KachelX + 1 793 KachelY + 1 249 1.72419441 1.17765956 98.789063 67.474922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18000350-1.17765956) × R
    0.00234394000000004 × 6371000     		dl = 14933.2417400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18000350-1.17765956) × R
    0.00234394000000004 × 6371000     		dr = 14933.2417400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71805848-1.72419441) × cos(1.18000350) × R
    0.0061359299999999 × 0.380921588243505 × 6371000     		do = 14890.9905482584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71805848-1.72419441) × cos(1.17765956) × R
    0.0061359299999999 × 0.383087763999222 × 6371000     		du = 14975.6707126276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18000350)-sin(1.17765956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380921588243505-0.383087763999222)×R²
    abs(1.72419441-1.71805848)×0.00216617575571704×R²
    0.0061359299999999×0.00216617575571704×6371000²
    0.0061359299999999×0.00216617575571704×40589641000000     		ar = 223003138.387059m²