Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 793 / 1305
↖ ↑ ↗
← S 44.213710°
W 40.605469°		 ← 14.009 km → S 44.213710°
W 40.429687°		 →
↑
13.994 km
↓
↑
13.994 km
↓
S 44.339565°
W 40.605469°		 ← 13.979 km →
195.845 km²		 S 44.339565°
W 40.429687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387451171875 y=0.637451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387451171875 × 211)
    floor (0.387451171875 × 2048)
    floor (793.5)     		tx = 793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637451171875 × 211)
    floor (0.637451171875 × 2048)
    floor (1305.5)     		ty = 1305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 793 / 1305 ti = "11/793/1305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/793/1305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 793 ÷ 211
    793 ÷ 2048     		x = 0.38720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1305 ÷ 211
    1305 ÷ 2048     		y = 0.63720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38720703125 × 2 - 1) × π
    -0.2255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.70869912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63720703125 × 2 - 1) × π
    -0.2744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.86209720276709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70869912} λ = -0.70869912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86209720276709))-π/2
    2×atan(0.422275555565894)-π/2
    2×0.399560757183306-π/2
    0.799121514366612-1.57079632675     		φ = -0.77167481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70869912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.605469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77167481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.213710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 793 KachelY 1305 -0.70869912 -0.77167481 -40.605469 -44.213710
    Oben rechts KachelX + 1 794 KachelY 1305 -0.70563116 -0.77167481 -40.429687 -44.213710
    Unten links KachelX 793 KachelY + 1 1306 -0.70869912 -0.77387140 -40.605469 -44.339565
    Unten rechts KachelX + 1 794 KachelY + 1 1306 -0.70563116 -0.77387140 -40.429687 -44.339565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77167481--0.77387140) × R
    0.00219658999999994 × 6371000     		dl = 13994.4748899996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77167481--0.77387140) × R
    0.00219658999999994 × 6371000     		dr = 13994.4748899996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70869912--0.70563116) × cos(-0.77167481) × R
    0.00306795999999998 × 0.716743769031627 × 6371000     		do = 14009.4544720893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70869912--0.70563116) × cos(-0.77387140) × R
    0.00306795999999998 × 0.715210278458376 × 6371000     		du = 13979.4809065034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77167481)-sin(-0.77387140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716743769031627-0.715210278458376)×R²
    abs(-0.70563116--0.70869912)×0.00153349057325181×R²
    0.00306795999999998×0.00153349057325181×6371000²
    0.00306795999999998×0.00153349057325181×40589641000000     		ar = 195845305.423025m²