Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 799 / 1311
↖ ↑ ↗
← S 44.964798°
W 39.550781°		 ← 13.830 km → S 44.964798°
W 39.375000°		 →
↑
13.815 km
↓
↑
13.815 km
↓
S 45.089036°
W 39.550781°		 ← 13.800 km →
190.843 km²		 S 45.089036°
W 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390380859375 y=0.640380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390380859375 × 211)
    floor (0.390380859375 × 2048)
    floor (799.5)     		tx = 799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640380859375 × 211)
    floor (0.640380859375 × 2048)
    floor (1311.5)     		ty = 1311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 799 / 1311 ti = "11/799/1311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/799/1311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 799 ÷ 211
    799 ÷ 2048     		x = 0.39013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1311 ÷ 211
    1311 ÷ 2048     		y = 0.64013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39013671875 × 2 - 1) × π
    -0.2197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.69029135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64013671875 × 2 - 1) × π
    -0.2802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.880504972221191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69029135} λ = -0.69029135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880504972221191))-π/2
    2×atan(0.414573510708644)-π/2
    2×0.393006277717247-π/2
    0.786012555434495-1.57079632675     		φ = -0.78478377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69029135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78478377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.964798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 799 KachelY 1311 -0.69029135 -0.78478377 -39.550781 -44.964798
    Oben rechts KachelX + 1 800 KachelY 1311 -0.68722339 -0.78478377 -39.375000 -44.964798
    Unten links KachelX 799 KachelY + 1 1312 -0.69029135 -0.78695213 -39.550781 -45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 800 KachelY + 1 1312 -0.68722339 -0.78695213 -39.375000 -45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78478377--0.78695213) × R
    0.00216835999999998 × 6371000     		dl = 13814.6215599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78478377--0.78695213) × R
    0.00216835999999998 × 6371000     		dr = 13814.6215599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69029135--0.68722339) × cos(-0.78478377) × R
    0.00306795999999998 × 0.707541089437804 × 6371000     		do = 13829.5791437484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69029135--0.68722339) × cos(-0.78695213) × R
    0.00306795999999998 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 13799.5959747756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78478377)-sin(-0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707541089437804-0.706007107541517)×R²
    abs(-0.68722339--0.69029135)×0.00153398189628717×R²
    0.00306795999999998×0.00153398189628717×6371000²
    0.00306795999999998×0.00153398189628717×40589641000000     		ar = 190843373.914071m²