Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79904 / 18464
↖ ↑ ↗
← N 78.043795°
E 39.462890°		 ← 63.27 m → N 78.043795°
E 39.465637°		 →
↑
63.26 m
↓
↑
63.26 m
↓
N 78.043226°
E 39.462890°		 ← 63.28 m →
4 003 m²		 N 78.043226°
E 39.465637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609622955322266 y=0.140872955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609622955322266 × 217)
    floor (0.609622955322266 × 131072)
    floor (79904.5)     		tx = 79904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140872955322266 × 217)
    floor (0.140872955322266 × 131072)
    floor (18464.5)     		ty = 18464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79904 / 18464 ti = "17/79904/18464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79904/18464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79904 ÷ 217
    79904 ÷ 131072     		x = 0.609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18464 ÷ 217
    18464 ÷ 131072     		y = 0.140869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609619140625 × 2 - 1) × π
    0.21923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68875737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140869140625 × 2 - 1) × π
    0.71826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25648573891528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68875737} λ = 0.68875737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25648573891528))-π/2
    2×atan(9.54947079589946)-π/2
    2×1.46645875576965-π/2
    2.93291751153931-1.57079632675     		φ = 1.36212118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68875737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.462890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36212118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.043795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79904 KachelY 18464 0.68875737 1.36212118 39.462890 78.043795
    Oben rechts KachelX + 1 79905 KachelY 18464 0.68880531 1.36212118 39.465637 78.043795
    Unten links KachelX 79904 KachelY + 1 18465 0.68875737 1.36211125 39.462890 78.043226
    Unten rechts KachelX + 1 79905 KachelY + 1 18465 0.68880531 1.36211125 39.465637 78.043226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36212118-1.36211125) × R
    9.9299999998248e-06 × 6371000     		dl = 63.2640299988838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36212118-1.36211125) × R
    9.9299999998248e-06 × 6371000     		dr = 63.2640299988838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68875737-0.68880531) × cos(1.36212118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207163969884959 × 6371000     		do = 63.2732088034098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68875737-0.68880531) × cos(1.36211125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207173684455659 × 6371000     		du = 63.2761758833547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36212118)-sin(1.36211125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207163969884959-0.207173684455659)×R²
    abs(0.68880531-0.68875737)×9.71457070023107e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.71457070023107e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.71457070023107e-06×40589641000000     		ar = 4003.0120345356m²