Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 8 / 40
↖ ↑ ↗
← S 40.979898°
W135.000000°		 ← 472.193 km → S 40.979898°
W129.375000°		 →
↑
456.915 km
↓
↑
456.915 km
↓
S 45.089036°
W135.000000°		 ← 441.587 km →
208 850 km²		 S 45.089036°
W129.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1328125 y=0.6328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1328125 × 26)
    floor (0.1328125 × 64)
    floor (8.5)     		tx = 8
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6328125 × 26)
    floor (0.6328125 × 64)
    floor (40.5)     		ty = 40
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 8 / 40 ti = "6/8/40"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/8/40.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8 ÷ 26
    8 ÷ 64     		x = 0.125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40 ÷ 26
    40 ÷ 64     		y = 0.625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125 × 2 - 1) × π
    -0.75 × 3.1415926535     		Λ = -2.35619449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Φ = -0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35619449} λ = -2.35619449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.785398163375))-π/2
    2×atan(0.455938127776231)-π/2
    2×0.427781089182652-π/2
    0.855562178365304-1.57079632675     		φ = -0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35619449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8 KachelY 40 -2.35619449 -0.71523415 -135.000000 -40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 9 KachelY 40 -2.25801972 -0.71523415 -129.375000 -40.979898
    Unten links KachelX 8 KachelY + 1 41 -2.35619449 -0.78695213 -135.000000 -45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 9 KachelY + 1 41 -2.25801972 -0.78695213 -129.375000 -45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71523415--0.78695213) × R
    0.07171798 × 6371000     		dl = 456915.25058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71523415--0.78695213) × R
    0.07171798 × 6371000     		dr = 456915.25058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35619449--2.25801972) × cos(-0.71523415) × R
    0.09817477 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 472193.240935073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35619449--2.25801972) × cos(-0.78695213) × R
    0.09817477 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 441587.296091387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71523415)-sin(-0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.706007107541517)×R²
    abs(-2.25801972--2.35619449)×0.0489326001538642×R²
    0.09817477×0.0489326001538642×6371000²
    0.09817477×0.0489326001538642×40589641000000     		ar = 208849656838.713m²