Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 8 / 56
↖ ↑ ↗
← S 79.171334°
W135.000000°		 ← 117.509 km → S 79.171334°
W129.375000°		 →
↑
112.015 km
↓
↑
112.015 km
↓
S 80.178713°
W135.000000°		 ← 106.690 km →
12 557.2 km²		 S 80.178713°
W129.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1328125 y=0.8828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1328125 × 26)
    floor (0.1328125 × 64)
    floor (8.5)     		tx = 8
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8828125 × 26)
    floor (0.8828125 × 64)
    floor (56.5)     		ty = 56
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 8 / 56 ti = "6/8/56"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/8/56.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8 ÷ 26
    8 ÷ 64     		x = 0.125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56 ÷ 26
    56 ÷ 64     		y = 0.875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125 × 2 - 1) × π
    -0.75 × 3.1415926535     		Λ = -2.35619449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875 × 2 - 1) × π
    -0.75 × 3.1415926535     		Φ = -2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35619449} λ = -2.35619449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.356194490125))-π/2
    2×atan(0.0947802248485378)-π/2
    2×0.0944979320635037-π/2
    0.188995864127007-1.57079632675     		φ = -1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35619449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8 KachelY 56 -2.35619449 -1.38180046 -135.000000 -79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 9 KachelY 56 -2.25801972 -1.38180046 -129.375000 -79.171334
    Unten links KachelX 8 KachelY + 1 57 -2.35619449 -1.39938254 -135.000000 -80.178713
    Unten rechts KachelX + 1 9 KachelY + 1 57 -2.25801972 -1.39938254 -129.375000 -80.178713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38180046--1.39938254) × R
    0.0175820799999999 × 6371000     		dl = 112015.43168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38180046--1.39938254) × R
    0.0175820799999999 × 6371000     		dr = 112015.43168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35619449--2.25801972) × cos(-1.38180046) × R
    0.09817477 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 117509.034962606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35619449--2.25801972) × cos(-1.39938254) × R
    0.09817477 × 0.170575586251288 × 6371000     		du = 106690.160916659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38180046)-sin(-1.39938254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.170575586251288)×R²
    abs(-2.25801972--2.35619449)×0.0172971506192396×R²
    0.09817477×0.0172971506192396×6371000²
    0.09817477×0.0172971506192396×40589641000000     		ar = 12557208339.6954m²