Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 80 / 13
↖ ↑ ↗
← N 80.647035°
E 45.000000°		 ← 50.825 km → N 80.647035°
E 47.812500°		 →
↑
52.075 km
↓
↑
52.075 km
↓
N 80.178713°
E 45.000000°		 ← 53.345 km →
2 712.33 km²		 N 80.178713°
E 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62890625 y=0.10546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62890625 × 27)
    floor (0.62890625 × 128)
    floor (80.5)     		tx = 80
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10546875 × 27)
    floor (0.10546875 × 128)
    floor (13.5)     		ty = 13
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 80 / 13 ti = "7/80/13"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/80/13.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80 ÷ 27
    80 ÷ 128     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13 ÷ 27
    13 ÷ 128     		y = 0.1015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1015625 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50345664575781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50345664575781))-π/2
    2×atan(12.2246773913586)-π/2
    2×1.4891763075478-π/2
    2.9783526150956-1.57079632675     		φ = 1.40755629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40755629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.647035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80 KachelY 13 0.78539816 1.40755629 45.000000 80.647035
    Oben rechts KachelX + 1 81 KachelY 13 0.83448555 1.40755629 47.812500 80.647035
    Unten links KachelX 80 KachelY + 1 14 0.78539816 1.39938254 45.000000 80.178713
    Unten rechts KachelX + 1 81 KachelY + 1 14 0.83448555 1.39938254 47.812500 80.178713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40755629-1.39938254) × R
    0.00817375000000009 × 6371000     		dl = 52074.9612500006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40755629-1.39938254) × R
    0.00817375000000009 × 6371000     		dr = 52074.9612500006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.83448555) × cos(1.40755629) × R
    0.0490873900000001 × 0.162516017493157 × 6371000     		do = 50824.5705175479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.83448555) × cos(1.39938254) × R
    0.0490873900000001 × 0.170575586251288 × 6371000     		du = 53345.0858920148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40755629)-sin(1.39938254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162516017493157-0.170575586251288)×R²
    abs(0.83448555-0.78539816)×0.00805956875813035×R²
    0.0490873900000001×0.00805956875813035×6371000²
    0.0490873900000001×0.00805956875813035×40589641000000     		ar = 2712330511.43674m²