Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 80 / 144
↖ ↑ ↗
← S 21.943045°
W 67.500000°		 ← 145.040 km → S 21.943045°
W 66.093750°		 →
↑
144.364 km
↓
↑
144.364 km
↓
S 23.241346°
W 67.500000°		 ← 143.679 km →
20 841.3 km²		 S 23.241346°
W 66.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.314453125 y=0.564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.314453125 × 28)
    floor (0.314453125 × 256)
    floor (80.5)     		tx = 80
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.564453125 × 28)
    floor (0.564453125 × 256)
    floor (144.5)     		ty = 144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 80 / 144 ti = "8/80/144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/80/144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80 ÷ 28
    80 ÷ 256     		x = 0.3125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 144 ÷ 28
    144 ÷ 256     		y = 0.5625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3125 × 2 - 1) × π
    -0.375 × 3.1415926535     		Λ = -1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5625 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Φ = -0.3926990816875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.17809725} λ = -1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.3926990816875))-π/2
    2×atan(0.675231906663356)-π/2
    2×0.593908967165888-π/2
    1.18781793433178-1.57079632675     		φ = -0.38297839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38297839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.943045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80 KachelY 144 -1.17809725 -0.38297839 -67.500000 -21.943045
    Oben rechts KachelX + 1 81 KachelY 144 -1.15355355 -0.38297839 -66.093750 -21.943045
    Unten links KachelX 80 KachelY + 1 145 -1.17809725 -0.40563801 -67.500000 -23.241346
    Unten rechts KachelX + 1 81 KachelY + 1 145 -1.15355355 -0.40563801 -66.093750 -23.241346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38297839--0.40563801) × R
    0.02265962 × 6371000     		dl = 144364.43902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38297839--0.40563801) × R
    0.02265962 × 6371000     		dr = 144364.43902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.17809725--1.15355355) × cos(-0.38297839) × R
    0.0245436999999999 × 0.927555772393619 × 6371000     		do = 145039.960042026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.17809725--1.15355355) × cos(-0.40563801) × R
    0.0245436999999999 × 0.91885082221011 × 6371000     		du = 143678.785151673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38297839)-sin(-0.40563801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927555772393619-0.91885082221011)×R²
    abs(-1.15355355--1.17809725)×0.00870495018350947×R²
    0.0245436999999999×0.00870495018350947×6371000²
    0.0245436999999999×0.00870495018350947×40589641000000     		ar = 20841251609.4597m²