Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 80 / 16
N 79.171334°
E 45.000000°
← 58.755 km → N 79.171334°
E 47.812500°

60.193 km

60.193 km
N 78.630006°
E 45.000000°
← 61.654 km →
3 623.90 km²
N 78.630006°
E 47.812500°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62890625 y=0.12890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62890625 × 27)
    floor (0.62890625 × 128)
    floor (80.5)
    tx = 80
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12890625 × 27)
    floor (0.12890625 × 128)
    floor (16.5)
    ty = 16
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 80 / 16 ti = "7/80/16"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/80/16.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80 ÷ 27
    80 ÷ 128
    x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16 ÷ 27
    16 ÷ 128
    y = 0.125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535
    Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.125 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535
    Φ = 2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.356194490125))-π/2
    2×atan(10.5507240734872)-π/2
    2×1.47629839473139-π/2
    2.95259678946279-1.57079632675
    φ = 1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80 KachelY 16 0.78539816 1.38180046 45.000000 79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 81 KachelY 16 0.83448555 1.38180046 47.812500 79.171334
    Unten links KachelX 80 KachelY + 1 17 0.78539816 1.37235249 45.000000 78.630006
    Unten rechts KachelX + 1 81 KachelY + 1 17 0.83448555 1.37235249 47.812500 78.630006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.38180046-1.37235249) × R
    0.00944797000000008 × 6371000
    dl = 60193.0168700005m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.38180046-1.37235249) × R
    0.00944797000000008 × 6371000
    dr = 60193.0168700005m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.83448555) × cos(1.38180046) × R
    0.0490873900000001 × 0.187872736870527 × 6371000
    do = 58754.5234659893m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.83448555) × cos(1.37235249) × R
    0.0490873900000001 × 0.197143947310492 × 6371000
    du = 61653.9625247201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.38180046)-sin(1.37235249))×
    abs(λ12)×abs(0.187872736870527-0.197143947310492)×
    abs(0.83448555-0.78539816)×0.00927121043996501×
    0.0490873900000001×0.00927121043996501×6371000²
    0.0490873900000001×0.00927121043996501×40589641000000
    ar = 3623901971.34548m²