Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 80 / 17
↖ ↑ ↗
← N 78.630006°
E 45.000000°		 ← 61.654 km → N 78.630006°
E 47.812500°		 →
↑
63.161 km
↓
↑
63.161 km
↓
N 78.061989°
E 45.000000°		 ← 64.690 km →
3 990.02 km²		 N 78.061989°
E 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62890625 y=0.13671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62890625 × 27)
    floor (0.62890625 × 128)
    floor (80.5)     		tx = 80
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13671875 × 27)
    floor (0.13671875 × 128)
    floor (17.5)     		ty = 17
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 80 / 17 ti = "7/80/17"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/80/17.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80 ÷ 27
    80 ÷ 128     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17 ÷ 27
    17 ÷ 128     		y = 0.1328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1328125 × 2 - 1) × π
    0.734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30710710491406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30710710491406))-π/2
    2×atan(10.0453225164482)-π/2
    2×1.47157440740029-π/2
    2.94314881480058-1.57079632675     		φ = 1.37235249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37235249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.630006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80 KachelY 17 0.78539816 1.37235249 45.000000 78.630006
    Oben rechts KachelX + 1 81 KachelY 17 0.83448555 1.37235249 47.812500 78.630006
    Unten links KachelX 80 KachelY + 1 18 0.78539816 1.36243873 45.000000 78.061989
    Unten rechts KachelX + 1 81 KachelY + 1 18 0.83448555 1.36243873 47.812500 78.061989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37235249-1.36243873) × R
    0.00991375999999988 × 6371000     		dl = 63160.5649599993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37235249-1.36243873) × R
    0.00991375999999988 × 6371000     		dr = 63160.5649599993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.83448555) × cos(1.37235249) × R
    0.0490873900000001 × 0.197143947310492 × 6371000     		do = 61653.9625247201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.83448555) × cos(1.36243873) × R
    0.0490873900000001 × 0.206853298300232 × 6371000     		du = 64690.423802012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37235249)-sin(1.36243873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197143947310492-0.206853298300232)×R²
    abs(0.83448555-0.78539816)×0.00970935098974024×R²
    0.0490873900000001×0.00970935098974024×6371000²
    0.0490873900000001×0.00970935098974024×40589641000000     		ar = 3990024089.18815m²