Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 800 / 1377
↖ ↑ ↗
← S 52.589701°
W 39.375000°		 ← 11.875 km → S 52.589701°
W 39.199219°		 →
↑
11.860 km
↓
↑
11.860 km
↓
S 52.696361°
W 39.375000°		 ← 11.846 km →
140.661 km²		 S 52.696361°
W 39.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390869140625 y=0.672607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390869140625 × 211)
    floor (0.390869140625 × 2048)
    floor (800.5)     		tx = 800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672607421875 × 211)
    floor (0.672607421875 × 2048)
    floor (1377.5)     		ty = 1377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 800 / 1377 ti = "11/800/1377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/800/1377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 800 ÷ 211
    800 ÷ 2048     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1377 ÷ 211
    1377 ÷ 2048     		y = 0.67236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67236328125 × 2 - 1) × π
    -0.3447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08299043621631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08299043621631))-π/2
    2×atan(0.338581503825616)-π/2
    2×0.326466447880492-π/2
    0.652932895760983-1.57079632675     		φ = -0.91786343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91786343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.589701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 800 KachelY 1377 -0.68722339 -0.91786343 -39.375000 -52.589701
    Oben rechts KachelX + 1 801 KachelY 1377 -0.68415543 -0.91786343 -39.199219 -52.589701
    Unten links KachelX 800 KachelY + 1 1378 -0.68722339 -0.91972500 -39.375000 -52.696361
    Unten rechts KachelX + 1 801 KachelY + 1 1378 -0.68415543 -0.91972500 -39.199219 -52.696361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91786343--0.91972500) × R
    0.00186156999999998 × 6371000     		dl = 11860.0624699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91786343--0.91972500) × R
    0.00186156999999998 × 6371000     		dr = 11860.0624699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68415543) × cos(-0.91786343) × R
    0.00306795999999998 × 0.607518631140303 × 6371000     		do = 11874.5428584682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68415543) × cos(-0.91972500) × R
    0.00306795999999998 × 0.606038924178641 × 6371000     		du = 11845.6205459109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91786343)-sin(-0.91972500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607518631140303-0.606038924178641)×R²
    abs(-0.68415543--0.68722339)×0.00147970696166277×R²
    0.00306795999999998×0.00147970696166277×6371000²
    0.00306795999999998×0.00147970696166277×40589641000000     		ar = 140661350.508435m²