Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 800 / 287
↖ ↑ ↗
← N 78.098296°
W 39.375000°		 ← 4 031.03 m → N 78.098296°
W 39.199219°		 →
↑
4 037.11 m
↓
↑
4 037.11 m
↓
N 78.061989°
W 39.375000°		 ← 4 043.15 m →
16 298 182 m²		 N 78.061989°
W 39.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390869140625 y=0.140380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390869140625 × 211)
    floor (0.390869140625 × 2048)
    floor (800.5)     		tx = 800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140380859375 × 211)
    floor (0.140380859375 × 2048)
    floor (287.5)     		ty = 287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 800 / 287 ti = "11/800/287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/800/287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 800 ÷ 211
    800 ÷ 2048     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 287 ÷ 211
    287 ÷ 2048     		y = 0.14013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14013671875 × 2 - 1) × π
    0.7197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26108768127881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26108768127881))-π/2
    2×atan(9.59351818413953)-π/2
    2×1.46693436259142-π/2
    2.93386872518284-1.57079632675     		φ = 1.36307240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36307240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.098296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 800 KachelY 287 -0.68722339 1.36307240 -39.375000 78.098296
    Oben rechts KachelX + 1 801 KachelY 287 -0.68415543 1.36307240 -39.199219 78.098296
    Unten links KachelX 800 KachelY + 1 288 -0.68722339 1.36243873 -39.375000 78.061989
    Unten rechts KachelX + 1 801 KachelY + 1 288 -0.68415543 1.36243873 -39.199219 78.061989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36307240-1.36243873) × R
    0.000633670000000031 × 6371000     		dl = 4037.1115700002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36307240-1.36243873) × R
    0.000633670000000031 × 6371000     		dr = 4037.1115700002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68415543) × cos(1.36307240) × R
    0.00306795999999998 × 0.206233291845377 × 6371000     		do = 4031.03038710816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68415543) × cos(1.36243873) × R
    0.00306795999999998 × 0.206853298300232 × 6371000     		du = 4043.14901663379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36307240)-sin(1.36243873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206233291845377-0.206853298300232)×R²
    abs(-0.68415543--0.68722339)×0.000620006454855465×R²
    0.00306795999999998×0.000620006454855465×6371000²
    0.00306795999999998×0.000620006454855465×40589641000000     		ar = 16298182.089921m²