Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 800 / 288
↖ ↑ ↗
← N 78.061989°
W 39.375000°		 ← 4 043.15 m → N 78.061989°
W 39.199219°		 →
↑
4 049.22 m
↓
↑
4 049.22 m
↓
N 78.025574°
W 39.375000°		 ← 4 055.30 m →
16 396 192 m²		 N 78.025574°
W 39.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390869140625 y=0.140869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390869140625 × 211)
    floor (0.390869140625 × 2048)
    floor (800.5)     		tx = 800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140869140625 × 211)
    floor (0.140869140625 × 2048)
    floor (288.5)     		ty = 288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 800 / 288 ti = "11/800/288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/800/288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 800 ÷ 211
    800 ÷ 2048     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 288 ÷ 211
    288 ÷ 2048     		y = 0.140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140625 × 2 - 1) × π
    0.71875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25801971970313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25801971970313))-π/2
    2×atan(9.56413074179742)-π/2
    2×1.46661752937248-π/2
    2.93323505874497-1.57079632675     		φ = 1.36243873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36243873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.061989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 800 KachelY 288 -0.68722339 1.36243873 -39.375000 78.061989
    Oben rechts KachelX + 1 801 KachelY 288 -0.68415543 1.36243873 -39.199219 78.061989
    Unten links KachelX 800 KachelY + 1 289 -0.68722339 1.36180316 -39.375000 78.025574
    Unten rechts KachelX + 1 801 KachelY + 1 289 -0.68415543 1.36180316 -39.199219 78.025574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36243873-1.36180316) × R
    0.00063557000000003 × 6371000     		dl = 4049.21647000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36243873-1.36180316) × R
    0.00063557000000003 × 6371000     		dr = 4049.21647000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68415543) × cos(1.36243873) × R
    0.00306795999999998 × 0.206853298300232 × 6371000     		do = 4043.14901663379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68415543) × cos(1.36180316) × R
    0.00306795999999998 × 0.20747508035265 × 6371000     		du = 4055.30235194172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36243873)-sin(1.36180316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206853298300232-0.20747508035265)×R²
    abs(-0.68415543--0.68722339)×0.000621782052417807×R²
    0.00306795999999998×0.000621782052417807×6371000²
    0.00306795999999998×0.000621782052417807×40589641000000     		ar = 16396191.8834991m²