Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 800 / 32
↖ ↑ ↗
← N 83.979259°
E101.250000°		 ← 4 100.29 m → N 83.979259°
E101.601562°		 →
↑
4 112.80 m
↓
↑
4 112.80 m
↓
N 83.942272°
E101.250000°		 ← 4 125.39 m →
16 915 294 m²		 N 83.942272°
E101.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78173828125 y=0.03173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78173828125 × 210)
    floor (0.78173828125 × 1024)
    floor (800.5)     		tx = 800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.03173828125 × 210)
    floor (0.03173828125 × 1024)
    floor (32.5)     		ty = 32
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 800 / 32 ti = "10/800/32"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/800/32.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 800 ÷ 210
    800 ÷ 1024     		x = 0.78125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32 ÷ 210
    32 ÷ 1024     		y = 0.03125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78125 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76714587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.03125 × 2 - 1) × π
    0.9375 × 3.1415926535     		Φ = 2.94524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76714587} λ = 1.76714587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.94524311265625))-π/2
    2×atan(19.0152846809447)-π/2
    2×1.51825545421397-π/2
    3.03651090842793-1.57079632675     		φ = 1.46571458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76714587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.46571458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.979259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 800 KachelY 32 1.76714587 1.46571458 101.250000 83.979259
    Oben rechts KachelX + 1 801 KachelY 32 1.77328179 1.46571458 101.601562 83.979259
    Unten links KachelX 800 KachelY + 1 33 1.76714587 1.46506903 101.250000 83.942272
    Unten rechts KachelX + 1 801 KachelY + 1 33 1.77328179 1.46506903 101.601562 83.942272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.46571458-1.46506903) × R
    0.000645549999999995 × 6371000     		dl = 4112.79904999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.46571458-1.46506903) × R
    0.000645549999999995 × 6371000     		dr = 4112.79904999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76714587-1.77328179) × cos(1.46571458) × R
    0.00613591999999996 × 0.104888465058156 × 6371000     		do = 4100.29424564061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76714587-1.77328179) × cos(1.46506903) × R
    0.00613591999999996 × 0.105530432299121 × 6371000     		du = 4125.3899945636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.46571458)-sin(1.46506903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.104888465058156-0.105530432299121)×R²
    abs(1.77328179-1.76714587)×0.000641967240964672×R²
    0.00613591999999996×0.000641967240964672×6371000²
    0.00613591999999996×0.000641967240964672×40589641000000     		ar = 16915293.7517919m²