Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 800 / 352
↖ ↑ ↗
← N 75.497157°
W 39.375000°		 ← 4 894.86 m → N 75.497157°
W 39.199219°		 →
↑
4 902.10 m
↓
↑
4 902.10 m
↓
N 75.453072°
W 39.375000°		 ← 4 909.42 m →
24 030 788 m²		 N 75.453072°
W 39.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390869140625 y=0.172119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390869140625 × 211)
    floor (0.390869140625 × 2048)
    floor (800.5)     		tx = 800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172119140625 × 211)
    floor (0.172119140625 × 2048)
    floor (352.5)     		ty = 352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 800 / 352 ti = "11/800/352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/800/352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 800 ÷ 211
    800 ÷ 2048     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 352 ÷ 211
    352 ÷ 2048     		y = 0.171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171875 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06167017885938))-π/2
    2×atan(7.85908493247811)-π/2
    2×1.44423514894581-π/2
    2.88847029789162-1.57079632675     		φ = 1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 800 KachelY 352 -0.68722339 1.31767397 -39.375000 75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 801 KachelY 352 -0.68415543 1.31767397 -39.199219 75.497157
    Unten links KachelX 800 KachelY + 1 353 -0.68722339 1.31690453 -39.375000 75.453072
    Unten rechts KachelX + 1 801 KachelY + 1 353 -0.68415543 1.31690453 -39.199219 75.453072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31767397-1.31690453) × R
    0.00076944000000001 × 6371000     		dl = 4902.10224000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31767397-1.31690453) × R
    0.00076944000000001 × 6371000     		dr = 4902.10224000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68415543) × cos(1.31767397) × R
    0.00306795999999998 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 4894.85972174922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68415543) × cos(1.31690453) × R
    0.00306795999999998 × 0.251172886395047 × 6371000     		du = 4909.41849599729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31767397)-sin(1.31690453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.251172886395047)×R²
    abs(-0.68415543--0.68722339)×0.00074484775605127×R²
    0.00306795999999998×0.00074484775605127×6371000²
    0.00306795999999998×0.00074484775605127×40589641000000     		ar = 24030788.2919953m²