Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80128 / 14592
↖ ↑ ↗
← N 80.058050°
E 40.078125°		 ← 52.73 m → N 80.058050°
E 40.080872°		 →
↑
52.75 m
↓
↑
52.75 m
↓
N 80.057575°
E 40.078125°		 ← 52.73 m →
2 782 m²		 N 80.057575°
E 40.080872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611331939697266 y=0.111331939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611331939697266 × 217)
    floor (0.611331939697266 × 131072)
    floor (80128.5)     		tx = 80128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111331939697266 × 217)
    floor (0.111331939697266 × 131072)
    floor (14592.5)     		ty = 14592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80128 / 14592 ti = "17/80128/14592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80128/14592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80128 ÷ 217
    80128 ÷ 131072     		x = 0.611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14592 ÷ 217
    14592 ÷ 131072     		y = 0.111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611328125 × 2 - 1) × π
    0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111328125 × 2 - 1) × π
    0.77734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44209741424414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69949524} λ = 0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44209741424414))-π/2
    2×atan(11.4971297153185)-π/2
    2×1.48403644218364-π/2
    2.96807288436728-1.57079632675     		φ = 1.39727656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39727656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.058050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80128 KachelY 14592 0.69949524 1.39727656 40.078125 80.058050
    Oben rechts KachelX + 1 80129 KachelY 14592 0.69954318 1.39727656 40.080872 80.058050
    Unten links KachelX 80128 KachelY + 1 14593 0.69949524 1.39726828 40.078125 80.057575
    Unten rechts KachelX + 1 80129 KachelY + 1 14593 0.69954318 1.39726828 40.080872 80.057575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39727656-1.39726828) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dl = 52.751879999112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39727656-1.39726828) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dr = 52.751879999112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69949524-0.69954318) × cos(1.39727656) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.172650322461766 × 6371000     		do = 52.731852499211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69949524-0.69954318) × cos(1.39726828) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.172658478116583 × 6371000     		du = 52.7343434461187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39727656)-sin(1.39726828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172650322461766-0.172658478116583)×R²
    abs(0.69954318-0.69949524)×8.15565481721015e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.15565481721015e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.15565481721015e-06×40589641000000     		ar = 2781.77005631019m²