Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80128 / 22784
↖ ↑ ↗
← N 75.320025°
E 40.078125°		 ← 77.40 m → N 75.320025°
E 40.080872°		 →
↑
77.41 m
↓
↑
77.41 m
↓
N 75.319329°
E 40.078125°		 ← 77.40 m →
5 992 m²		 N 75.319329°
E 40.080872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611331939697266 y=0.173831939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611331939697266 × 217)
    floor (0.611331939697266 × 131072)
    floor (80128.5)     		tx = 80128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173831939697266 × 217)
    floor (0.173831939697266 × 131072)
    floor (22784.5)     		ty = 22784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80128 / 22784 ti = "17/80128/22784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80128/22784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80128 ÷ 217
    80128 ÷ 131072     		x = 0.611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22784 ÷ 217
    22784 ÷ 131072     		y = 0.173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611328125 × 2 - 1) × π
    0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173828125 × 2 - 1) × π
    0.65234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.04939833255664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69949524} λ = 0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04939833255664))-π/2
    2×atan(7.76322881883045)-π/2
    2×1.44268937988364-π/2
    2.88537875976729-1.57079632675     		φ = 1.31458243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31458243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.320025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80128 KachelY 22784 0.69949524 1.31458243 40.078125 75.320025
    Oben rechts KachelX + 1 80129 KachelY 22784 0.69954318 1.31458243 40.080872 75.320025
    Unten links KachelX 80128 KachelY + 1 22785 0.69949524 1.31457028 40.078125 75.319329
    Unten rechts KachelX + 1 80129 KachelY + 1 22785 0.69954318 1.31457028 40.080872 75.319329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31458243-1.31457028) × R
    1.21499999998775e-05 × 6371000     		dl = 77.4076499992198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31458243-1.31457028) × R
    1.21499999998775e-05 × 6371000     		dr = 77.4076499992198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69949524-0.69954318) × cos(1.31458243) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.25341986587156 × 6371000     		do = 77.4009500646505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69949524-0.69954318) × cos(1.31457028) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.253431619232907 × 6371000     		du = 77.4045398437374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31458243)-sin(1.31457028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25341986587156-0.253431619232907)×R²
    abs(0.69954318-0.69949524)×1.17533613468446e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.17533613468446e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.17533613468446e-05×40589641000000     		ar = 5991.56459038843m²