Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 802 / 1314
↖ ↑ ↗
← S 45.336702°
W 39.023438°		 ← 13.740 km → S 45.336702°
W 38.847656°		 →
↑
13.725 km
↓
↑
13.725 km
↓
S 45.460131°
W 39.023438°		 ← 13.710 km →
188.366 km²		 S 45.460131°
W 38.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391845703125 y=0.641845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391845703125 × 211)
    floor (0.391845703125 × 2048)
    floor (802.5)     		tx = 802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641845703125 × 211)
    floor (0.641845703125 × 2048)
    floor (1314.5)     		ty = 1314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 802 / 1314 ti = "11/802/1314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/802/1314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 802 ÷ 211
    802 ÷ 2048     		x = 0.3916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1314 ÷ 211
    1314 ÷ 2048     		y = 0.6416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3916015625 × 2 - 1) × π
    -0.216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68108747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6416015625 × 2 - 1) × π
    -0.283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.889708856948242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68108747} λ = -0.68108747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889708856948242))-π/2
    2×atan(0.410775329727582)-π/2
    2×0.389760803244313-π/2
    0.779521606488627-1.57079632675     		φ = -0.79127472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68108747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.023438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79127472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.336702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 802 KachelY 1314 -0.68108747 -0.79127472 -39.023438 -45.336702
    Oben rechts KachelX + 1 803 KachelY 1314 -0.67801951 -0.79127472 -38.847656 -45.336702
    Unten links KachelX 802 KachelY + 1 1315 -0.68108747 -0.79342896 -39.023438 -45.460131
    Unten rechts KachelX + 1 803 KachelY + 1 1315 -0.67801951 -0.79342896 -38.847656 -45.460131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79127472--0.79342896) × R
    0.00215423999999997 × 6371000     		dl = 13724.6630399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79127472--0.79342896) × R
    0.00215423999999997 × 6371000     		dr = 13724.6630399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68108747--0.67801951) × cos(-0.79127472) × R
    0.00306795999999998 × 0.702939242531099 × 6371000     		do = 13739.6315676235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68108747--0.67801951) × cos(-0.79342896) × R
    0.00306795999999998 × 0.701405409648006 × 6371000     		du = 13709.6513112586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79127472)-sin(-0.79342896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702939242531099-0.701405409648006)×R²
    abs(-0.67801951--0.68108747)×0.00153383288309228×R²
    0.00306795999999998×0.00153383288309228×6371000²
    0.00306795999999998×0.00153383288309228×40589641000000     		ar = 188366151.947847m²