Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 802 / 802
↖ ↑ ↗
← S 70.844672°
E101.953125°		 ← 12.827 km → S 70.844672°
E102.304688°		 →
↑
12.790 km
↓
↑
12.790 km
↓
S 70.959697°
E101.953125°		 ← 12.753 km →
163.589 km²		 S 70.959697°
E102.304688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78369140625 y=0.78369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78369140625 × 210)
    floor (0.78369140625 × 1024)
    floor (802.5)     		tx = 802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78369140625 × 210)
    floor (0.78369140625 × 1024)
    floor (802.5)     		ty = 802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 802 / 802 ti = "10/802/802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/802/802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 802 ÷ 210
    802 ÷ 1024     		x = 0.783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 802 ÷ 210
    802 ÷ 1024     		y = 0.783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783203125 × 2 - 1) × π
    0.56640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77941771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783203125 × 2 - 1) × π
    -0.56640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77941771} λ = 1.77941771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77941771389648))-π/2
    2×atan(0.168736371512804)-π/2
    2×0.167161765923175-π/2
    0.33432353184635-1.57079632675     		φ = -1.23647279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77941771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23647279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.844672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 802 KachelY 802 1.77941771 -1.23647279 101.953125 -70.844672
    Oben rechts KachelX + 1 803 KachelY 802 1.78555364 -1.23647279 102.304688 -70.844672
    Unten links KachelX 802 KachelY + 1 803 1.77941771 -1.23848035 101.953125 -70.959697
    Unten rechts KachelX + 1 803 KachelY + 1 803 1.78555364 -1.23848035 102.304688 -70.959697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23647279--1.23848035) × R
    0.0020075599999998 × 6371000     		dl = 12790.1647599987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23647279--1.23848035) × R
    0.0020075599999998 × 6371000     		dr = 12790.1647599987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77941771-1.78555364) × cos(-1.23647279) × R
    0.00613593000000012 × 0.328130235874851 × 6371000     		do = 12827.2704719662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77941771-1.78555364) × cos(-1.23848035) × R
    0.00613593000000012 × 0.32623316950853 × 6371000     		du = 12753.1103345464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23647279)-sin(-1.23848035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328130235874851-0.32623316950853)×R²
    abs(1.78555364-1.77941771)×0.00189706636632153×R²
    0.00613593000000012×0.00189706636632153×6371000²
    0.00613593000000012×0.00189706636632153×40589641000000     		ar = 163588697.511982m²