Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 805 / 1317
↖ ↑ ↗
← S 45.706179°
W 38.496094°		 ← 13.650 km → S 45.706179°
W 38.320312°		 →
↑
13.635 km
↓
↑
13.635 km
↓
S 45.828799°
W 38.496094°		 ← 13.620 km →
185.906 km²		 S 45.828799°
W 38.320312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.393310546875 y=0.643310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.393310546875 × 211)
    floor (0.393310546875 × 2048)
    floor (805.5)     		tx = 805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643310546875 × 211)
    floor (0.643310546875 × 2048)
    floor (1317.5)     		ty = 1317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 805 / 1317 ti = "11/805/1317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/805/1317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 805 ÷ 211
    805 ÷ 2048     		x = 0.39306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1317 ÷ 211
    1317 ÷ 2048     		y = 0.64306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39306640625 × 2 - 1) × π
    -0.2138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.67188359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64306640625 × 2 - 1) × π
    -0.2861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.898912741675293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67188359} λ = -0.67188359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898912741675293))-π/2
    2×atan(0.407011946384073)-π/2
    2×0.386536504888493-π/2
    0.773073009776987-1.57079632675     		φ = -0.79772332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67188359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.496094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79772332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.706179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 805 KachelY 1317 -0.67188359 -0.79772332 -38.496094 -45.706179
    Oben rechts KachelX + 1 806 KachelY 1317 -0.66881562 -0.79772332 -38.320312 -45.706179
    Unten links KachelX 805 KachelY + 1 1318 -0.67188359 -0.79986344 -38.496094 -45.828799
    Unten rechts KachelX + 1 806 KachelY + 1 1318 -0.66881562 -0.79986344 -38.320312 -45.828799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79772332--0.79986344) × R
    0.00214011999999997 × 6371000     		dl = 13634.7045199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79772332--0.79986344) × R
    0.00214011999999997 × 6371000     		dr = 13634.7045199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67188359--0.66881562) × cos(-0.79772332) × R
    0.00306796999999992 × 0.698338092591969 × 6371000     		do = 13649.7421055277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67188359--0.66881562) × cos(-0.79986344) × R
    0.00306796999999992 × 0.69680466499832 × 6371000     		du = 13619.7696732448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79772332)-sin(-0.79986344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698338092591969-0.69680466499832)×R²
    abs(-0.66881562--0.67188359)×0.00153342759364894×R²
    0.00306796999999992×0.00153342759364894×6371000²
    0.00306796999999992×0.00153342759364894×40589641000000     		ar = 185905938.709973m²