Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 808 / 808
↖ ↑ ↗
← S 71.524909°
E104.062500°		 ← 12.388 km → S 71.524909°
E104.414063°		 →
↑
12.352 km
↓
↑
12.352 km
↓
S 71.635993°
E104.062500°		 ← 12.316 km →
152.572 km²		 S 71.635993°
E104.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78955078125 y=0.78955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78955078125 × 210)
    floor (0.78955078125 × 1024)
    floor (808.5)     		tx = 808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78955078125 × 210)
    floor (0.78955078125 × 1024)
    floor (808.5)     		ty = 808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 808 / 808 ti = "10/808/808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/808/808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 808 ÷ 210
    808 ÷ 1024     		x = 0.7890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 808 ÷ 210
    808 ÷ 1024     		y = 0.7890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7890625 × 2 - 1) × π
    0.578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.81623325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7890625 × 2 - 1) × π
    -0.578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81623325280469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81623325} λ = 1.81623325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81623325280469))-π/2
    2×atan(0.16263721186318)-π/2
    2×0.161225583460261-π/2
    0.322451166920523-1.57079632675     		φ = -1.24834516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81623325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24834516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.524909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 808 KachelY 808 1.81623325 -1.24834516 104.062500 -71.524909
    Oben rechts KachelX + 1 809 KachelY 808 1.82236918 -1.24834516 104.414063 -71.524909
    Unten links KachelX 808 KachelY + 1 809 1.81623325 -1.25028394 104.062500 -71.635993
    Unten rechts KachelX + 1 809 KachelY + 1 809 1.82236918 -1.25028394 104.414063 -71.635993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24834516--1.25028394) × R
    0.00193878000000014 × 6371000     		dl = 12351.9673800009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24834516--1.25028394) × R
    0.00193878000000014 × 6371000     		dr = 12351.9673800009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81623325-1.82236918) × cos(-1.24834516) × R
    0.0061359299999999 × 0.316892347631675 × 6371000     		do = 12387.9588320475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81623325-1.82236918) × cos(-1.25028394) × R
    0.0061359299999999 × 0.315052894995122 × 6371000     		du = 12316.0509311296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24834516)-sin(-1.25028394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316892347631675-0.315052894995122)×R²
    abs(1.82236918-1.81623325)×0.00183945263655283×R²
    0.0061359299999999×0.00183945263655283×6371000²
    0.0061359299999999×0.00183945263655283×40589641000000     		ar = 152571609.166359m²