Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8096 / 8608
↖ ↑ ↗
← S  9.102097°
W  2.109375°		 ← 2 412.51 m → S  9.102097°
W  2.087402°		 →
↑
2 412.38 m
↓
↑
2 412.38 m
↓
S  9.123792°
W  2.109375°		 ← 2 412.37 m →
5 819 719 m²		 S  9.123792°
W  2.087402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494171142578125 y=0.525421142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494171142578125 × 214)
    floor (0.494171142578125 × 16384)
    floor (8096.5)     		tx = 8096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525421142578125 × 214)
    floor (0.525421142578125 × 16384)
    floor (8608.5)     		ty = 8608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8096 / 8608 ti = "14/8096/8608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8096/8608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8096 ÷ 214
    8096 ÷ 16384     		x = 0.494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8608 ÷ 214
    8608 ÷ 16384     		y = 0.525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494140625 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525390625 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.159534001935547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03681554} λ = -0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159534001935547))-π/2
    2×atan(0.852540978860179)-π/2
    2×0.705967384936792-π/2
    1.41193476987358-1.57079632675     		φ = -0.15886156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15886156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.102097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8096 KachelY 8608 -0.03681554 -0.15886156 -2.109375 -9.102097
    Oben rechts KachelX + 1 8097 KachelY 8608 -0.03643204 -0.15886156 -2.087402 -9.102097
    Unten links KachelX 8096 KachelY + 1 8609 -0.03681554 -0.15924021 -2.109375 -9.123792
    Unten rechts KachelX + 1 8097 KachelY + 1 8609 -0.03643204 -0.15924021 -2.087402 -9.123792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15886156--0.15924021) × R
    0.00037864999999998 × 6371000     		dl = 2412.37914999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15886156--0.15924021) × R
    0.00037864999999998 × 6371000     		dr = 2412.37914999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03681554--0.03643204) × cos(-0.15886156) × R
    0.000383500000000002 × 0.987408017809851 × 6371000     		do = 2412.51278064244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03681554--0.03643204) × cos(-0.15924021) × R
    0.000383500000000002 × 0.987348046790498 × 6371000     		du = 2412.36625474023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15886156)-sin(-0.15924021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987408017809851-0.987348046790498)×R²
    abs(-0.03643204--0.03681554)×5.99710193528447e-05×R²
    0.000383500000000002×5.99710193528447e-05×6371000²
    0.000383500000000002×5.99710193528447e-05×40589641000000     		ar = 5819718.86264816m²