Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 81 / 51
N 34.307144°
E 47.812500°
← 258.328 km → N 34.307144°
E 50.625000°

261.862 km

261.862 km
N 31.952162°
E 47.812500°
← 265.353 km →
68 575.8 km²
N 31.952162°
E 50.625000°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63671875 y=0.40234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63671875 × 27)
    floor (0.63671875 × 128)
    floor (81.5)
    tx = 81
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40234375 × 27)
    floor (0.40234375 × 128)
    floor (51.5)
    ty = 51
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 81 / 51 ti = "7/81/51"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/81/51.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81 ÷ 27
    81 ÷ 128
    x = 0.6328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51 ÷ 27
    51 ÷ 128
    y = 0.3984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.6328125 × 2 - 1) × π
    0.265625 × 3.1415926535
    Λ = 0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.3984375 × 2 - 1) × π
    0.203125 × 3.1415926535
    Φ = 0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83448555} λ = 0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.638136007742187))-π/2
    2×atan(1.89294914621298)-π/2
    2×1.0847844720137-π/2
    2.1695689440274-1.57079632675
    φ = 0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81 KachelY 51 0.83448555 0.59877262 47.812500 34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 82 KachelY 51 0.88357293 0.59877262 50.625000 34.307144
    Unten links KachelX 81 KachelY + 1 52 0.83448555 0.55767043 47.812500 31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 82 KachelY + 1 52 0.88357293 0.55767043 50.625000 31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.59877262-0.55767043) × R
    0.0411021899999999 × 6371000
    dl = 261862.05249m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.59877262-0.55767043) × R
    0.0411021899999999 × 6371000
    dr = 261862.05249m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.83448555-0.88357293) × cos(0.59877262) × R
    0.04908738 × 0.826028023946516 × 6371000
    do = 258328.450619954m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.83448555-0.88357293) × cos(0.55767043) × R
    0.04908738 × 0.848490246343458 × 6371000
    du = 265353.189419444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.59877262)-sin(0.55767043))×
    abs(λ12)×abs(0.826028023946516-0.848490246343458)×
    abs(0.88357293-0.83448555)×0.0224622223969423×
    0.04908738×0.0224622223969423×6371000²
    0.04908738×0.0224622223969423×40589641000000
    ar = 68575829104.6556m²