Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 810 / 1322
↖ ↑ ↗
← S 46.316584°
W 37.617188°		 ← 13.500 km → S 46.316584°
W 37.441407°		 →
↑
13.485 km
↓
↑
13.485 km
↓
S 46.437857°
W 37.617188°		 ← 13.470 km →
181.843 km²		 S 46.437857°
W 37.441407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.395751953125 y=0.645751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.395751953125 × 211)
    floor (0.395751953125 × 2048)
    floor (810.5)     		tx = 810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645751953125 × 211)
    floor (0.645751953125 × 2048)
    floor (1322.5)     		ty = 1322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 810 / 1322 ti = "11/810/1322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/810/1322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 810 ÷ 211
    810 ÷ 2048     		x = 0.3955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1322 ÷ 211
    1322 ÷ 2048     		y = 0.6455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3955078125 × 2 - 1) × π
    -0.208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.65654378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6455078125 × 2 - 1) × π
    -0.291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.914252549553711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.65654378} λ = -0.65654378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914252549553711))-π/2
    2×atan(0.400816104330366)-π/2
    2×0.381209717281512-π/2
    0.762419434563024-1.57079632675     		φ = -0.80837689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.65654378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.617188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80837689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.316584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 810 KachelY 1322 -0.65654378 -0.80837689 -37.617188 -46.316584
    Oben rechts KachelX + 1 811 KachelY 1322 -0.65347582 -0.80837689 -37.441407 -46.316584
    Unten links KachelX 810 KachelY + 1 1323 -0.65654378 -0.81049350 -37.617188 -46.437857
    Unten rechts KachelX + 1 811 KachelY + 1 1323 -0.65347582 -0.81049350 -37.441407 -46.437857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80837689--0.81049350) × R
    0.00211660999999996 × 6371000     		dl = 13484.9223099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80837689--0.81049350) × R
    0.00211660999999996 × 6371000     		dr = 13484.9223099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.65654378--0.65347582) × cos(-0.80837689) × R
    0.00306795999999998 × 0.690673121954347 × 6371000     		do = 13499.878304053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.65654378--0.65347582) × cos(-0.81049350) × R
    0.00306795999999998 × 0.689140913284706 × 6371000     		du = 13469.9297945207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80837689)-sin(-0.81049350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690673121954347-0.689140913284706)×R²
    abs(-0.65347582--0.65654378)×0.00153220866964099×R²
    0.00306795999999998×0.00153220866964099×6371000²
    0.00306795999999998×0.00153220866964099×40589641000000     		ar = 181842951.351061m²