Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 812 / 1324
↖ ↑ ↗
← S 46.558860°
W 37.265625°		 ← 13.440 km → S 46.558860°
W 37.089844°		 →
↑
13.425 km
↓
↑
13.425 km
↓
S 46.679595°
W 37.265625°		 ← 13.410 km →
180.231 km²		 S 46.679595°
W 37.089844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.396728515625 y=0.646728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.396728515625 × 211)
    floor (0.396728515625 × 2048)
    floor (812.5)     		tx = 812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646728515625 × 211)
    floor (0.646728515625 × 2048)
    floor (1324.5)     		ty = 1324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 812 / 1324 ti = "11/812/1324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/812/1324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 812 ÷ 211
    812 ÷ 2048     		x = 0.396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1324 ÷ 211
    1324 ÷ 2048     		y = 0.646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.396484375 × 2 - 1) × π
    -0.20703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.65040785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646484375 × 2 - 1) × π
    -0.29296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.65040785} λ = -0.65040785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920388472705078))-π/2
    2×atan(0.398364257381167)-π/2
    2×0.379095459273753-π/2
    0.758190918547505-1.57079632675     		φ = -0.81260541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.65040785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81260541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.558860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 812 KachelY 1324 -0.65040785 -0.81260541 -37.265625 -46.558860
    Oben rechts KachelX + 1 813 KachelY 1324 -0.64733989 -0.81260541 -37.089844 -46.558860
    Unten links KachelX 812 KachelY + 1 1325 -0.65040785 -0.81471262 -37.265625 -46.679595
    Unten rechts KachelX + 1 813 KachelY + 1 1325 -0.64733989 -0.81471262 -37.089844 -46.679595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81260541--0.81471262) × R
    0.00210721000000003 × 6371000     		dl = 13425.0349100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81260541--0.81471262) × R
    0.00210721000000003 × 6371000     		dr = 13425.0349100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.65040785--0.64733989) × cos(-0.81260541) × R
    0.00306795999999998 × 0.687609029827766 × 6371000     		do = 13439.9876415871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.65040785--0.64733989) × cos(-0.81471262) × R
    0.00306795999999998 × 0.686077498914387 × 6371000     		du = 13410.0523794605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81260541)-sin(-0.81471262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687609029827766-0.686077498914387)×R²
    abs(-0.64733989--0.65040785)×0.00153153091337899×R²
    0.00306795999999998×0.00153153091337899×6371000²
    0.00306795999999998×0.00153153091337899×40589641000000     		ar = 180231428.999386m²