Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8128 / 24768
↖ ↑ ↗
← N 40.178873°
W135.351562°		 ← 466.66 m → N 40.178873°
W135.346069°		 →
↑
466.68 m
↓
↑
466.68 m
↓
N 40.174676°
W135.351562°		 ← 466.69 m →
217 787 m²		 N 40.174676°
W135.346069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124031066894531 y=0.377937316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124031066894531 × 216)
    floor (0.124031066894531 × 65536)
    floor (8128.5)     		tx = 8128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.377937316894531 × 216)
    floor (0.377937316894531 × 65536)
    floor (24768.5)     		ty = 24768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8128 / 24768 ti = "16/8128/24768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8128/24768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8128 ÷ 216
    8128 ÷ 65536     		x = 0.1240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24768 ÷ 216
    24768 ÷ 65536     		y = 0.3779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1240234375 × 2 - 1) × π
    -0.751953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.36233041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3779296875 × 2 - 1) × π
    0.244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.766990393920898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36233041} λ = -2.36233041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.766990393920898))-π/2
    2×atan(2.1532759796213)-π/2
    2×1.13602497792759-π/2
    2.27204995585519-1.57079632675     		φ = 0.70125363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36233041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70125363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.178873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8128 KachelY 24768 -2.36233041 0.70125363 -135.351562 40.178873
    Oben rechts KachelX + 1 8129 KachelY 24768 -2.36223454 0.70125363 -135.346069 40.178873
    Unten links KachelX 8128 KachelY + 1 24769 -2.36233041 0.70118038 -135.351562 40.174676
    Unten rechts KachelX + 1 8129 KachelY + 1 24769 -2.36223454 0.70118038 -135.346069 40.174676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70125363-0.70118038) × R
    7.32499999999137e-05 × 6371000     		dl = 466.67574999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70125363-0.70118038) × R
    7.32499999999137e-05 × 6371000     		dr = 466.67574999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36233041--2.36223454) × cos(0.70125363) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.764033975868385 × 6371000     		do = 466.662608324874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36233041--2.36223454) × cos(0.70118038) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.76408123296133 × 6371000     		du = 466.691472379291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70125363)-sin(0.70118038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764033975868385-0.76408123296133)×R²
    abs(-2.36223454--2.36233041)×4.72570929450633e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72570929450633e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72570929450633e-05×40589641000000     		ar = 217786.857910867m²