Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8130 / 8130
↖ ↑ ↗
← N  1.362176°
W  1.362305°		 ← 2 442.52 m → N  1.362176°
W  1.340332°		 →
↑
2 442.58 m
↓
↑
2 442.58 m
↓
N  1.340210°
W  1.362305°		 ← 2 442.55 m →
5 966 083 m²		 N  1.340210°
W  1.340332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496246337890625 y=0.496246337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496246337890625 × 214)
    floor (0.496246337890625 × 16384)
    floor (8130.5)     		tx = 8130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496246337890625 × 214)
    floor (0.496246337890625 × 16384)
    floor (8130.5)     		ty = 8130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8130 / 8130 ti = "14/8130/8130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8130/8130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8130 ÷ 214
    8130 ÷ 16384     		x = 0.4962158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8130 ÷ 214
    8130 ÷ 16384     		y = 0.4962158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4962158203125 × 2 - 1) × π
    -0.007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02377670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4962158203125 × 2 - 1) × π
    0.007568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0237767022115479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02377670} λ = -0.02377670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0237767022115479))-π/2
    2×atan(1.02406162166253)-π/2
    2×0.797285394518147-π/2
    1.59457078903629-1.57079632675     		φ = 0.02377446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02377670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02377446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.362176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8130 KachelY 8130 -0.02377670 0.02377446 -1.362305 1.362176
    Oben rechts KachelX + 1 8131 KachelY 8130 -0.02339321 0.02377446 -1.340332 1.362176
    Unten links KachelX 8130 KachelY + 1 8131 -0.02377670 0.02339107 -1.362305 1.340210
    Unten rechts KachelX + 1 8131 KachelY + 1 8131 -0.02339321 0.02339107 -1.340332 1.340210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02377446-0.02339107) × R
    0.000383390000000001 × 6371000     		dl = 2442.57769000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02377446-0.02339107) × R
    0.000383390000000001 × 6371000     		dr = 2442.57769000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02377670--0.02339321) × cos(0.02377446) × R
    0.00038349 × 0.999717400837238 × 6371000     		do = 2442.5243395459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02377670--0.02339321) × cos(0.02339107) × R
    0.00038349 × 0.999726441395423 × 6371000     		du = 2442.54642757137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02377446)-sin(0.02339107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999717400837238-0.999726441395423)×R²
    abs(-0.02339321--0.02377670)×9.04055818407024e-06×R²
    0.00038349×9.04055818407024e-06×6371000²
    0.00038349×9.04055818407024e-06×40589641000000     		ar = 5966082.50799445m²