Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81407 / 15871
↖ ↑ ↗
← N 79.432874°
E 43.591003°		 ← 56.01 m → N 79.432874°
E 43.593750°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
N 79.432371°
E 43.591003°		 ← 56.01 m →
3 137 m²		 N 79.432371°
E 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621089935302734 y=0.121089935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621089935302734 × 217)
    floor (0.621089935302734 × 131072)
    floor (81407.5)     		tx = 81407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121089935302734 × 217)
    floor (0.121089935302734 × 131072)
    floor (15871.5)     		ty = 15871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81407 / 15871 ti = "17/81407/15871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81407/15871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81407 ÷ 217
    81407 ÷ 131072     		x = 0.621086120605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15871 ÷ 217
    15871 ÷ 131072     		y = 0.121086120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621086120605469 × 2 - 1) × π
    0.242172241210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.76080653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121086120605469 × 2 - 1) × π
    0.757827758789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.38078611963009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76080653} λ = 0.76080653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38078611963009))-π/2
    2×atan(10.8134001496778)-π/2
    2×1.47858076021112-π/2
    2.95716152042224-1.57079632675     		φ = 1.38636519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76080653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.591003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38636519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.432874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81407 KachelY 15871 0.76080653 1.38636519 43.591003 79.432874
    Oben rechts KachelX + 1 81408 KachelY 15871 0.76085447 1.38636519 43.593750 79.432874
    Unten links KachelX 81407 KachelY + 1 15872 0.76080653 1.38635640 43.591003 79.432371
    Unten rechts KachelX + 1 81408 KachelY + 1 15872 0.76085447 1.38635640 43.593750 79.432371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38636519-1.38635640) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dl = 56.0010900005847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38636519-1.38635640) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dr = 56.0010900005847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76080653-0.76085447) × cos(1.38636519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183387347529213 × 6371000     		do = 56.0112163257103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76080653-0.76085447) × cos(1.38635640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183395988450163 × 6371000     		du = 56.0138554853856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38636519)-sin(1.38635640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183387347529213-0.183395988450163)×R²
    abs(0.76085447-0.76080653)×8.64092094959856e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.64092094959856e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.64092094959856e-06×40589641000000     		ar = 3136.76306433574m²