Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81416 / 15880
↖ ↑ ↗
← N 79.428340°
E 43.615723°		 ← 56.02 m → N 79.428340°
E 43.618469°		 →
↑
56.06 m
↓
↑
56.06 m
↓
N 79.427836°
E 43.615723°		 ← 56.03 m →
3 141 m²		 N 79.427836°
E 43.618469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621158599853516 y=0.121158599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621158599853516 × 217)
    floor (0.621158599853516 × 131072)
    floor (81416.5)     		tx = 81416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121158599853516 × 217)
    floor (0.121158599853516 × 131072)
    floor (15880.5)     		ty = 15880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81416 / 15880 ti = "17/81416/15880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81416/15880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81416 ÷ 217
    81416 ÷ 131072     		x = 0.62115478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15880 ÷ 217
    15880 ÷ 131072     		y = 0.12115478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62115478515625 × 2 - 1) × π
    0.2423095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76123797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12115478515625 × 2 - 1) × π
    0.7576904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38035468753351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76123797} λ = 0.76123797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38035468753351))-π/2
    2×atan(10.8087359080042)-π/2
    2×1.47854119222791-π/2
    2.95708238445583-1.57079632675     		φ = 1.38628606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76123797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38628606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.428340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81416 KachelY 15880 0.76123797 1.38628606 43.615723 79.428340
    Oben rechts KachelX + 1 81417 KachelY 15880 0.76128590 1.38628606 43.618469 79.428340
    Unten links KachelX 81416 KachelY + 1 15881 0.76123797 1.38627726 43.615723 79.427836
    Unten rechts KachelX + 1 81417 KachelY + 1 15881 0.76128590 1.38627726 43.618469 79.427836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38628606-1.38627726) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dl = 56.0648000001975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38628606-1.38627726) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dr = 56.0648000001975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76123797-0.76128590) × cos(1.38628606) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.18346513496811 × 6371000     		do = 56.0232860479905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76123797-0.76128590) × cos(1.38627726) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.18347378559172 × 6371000     		du = 56.0259276199768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38628606)-sin(1.38627726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18346513496811-0.18347378559172)×R²
    abs(0.76128590-0.76123797)×8.65062360996816e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.65062360996816e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.65062360996816e-06×40589641000000     		ar = 3141.00837724134m²