Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81424 / 17936
↖ ↑ ↗
← N 78.340533°
E 43.637695°		 ← 61.72 m → N 78.340533°
E 43.640442°		 →
↑
61.73 m
↓
↑
61.73 m
↓
N 78.339978°
E 43.637695°		 ← 61.73 m →
3 811 m²		 N 78.339978°
E 43.640442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621219635009766 y=0.136844635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621219635009766 × 217)
    floor (0.621219635009766 × 131072)
    floor (81424.5)     		tx = 81424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136844635009766 × 217)
    floor (0.136844635009766 × 131072)
    floor (17936.5)     		ty = 17936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81424 / 17936 ti = "17/81424/17936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81424/17936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81424 ÷ 217
    81424 ÷ 131072     		x = 0.6212158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17936 ÷ 217
    17936 ÷ 131072     		y = 0.1368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6212158203125 × 2 - 1) × π
    0.242431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76162146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1368408203125 × 2 - 1) × π
    0.726318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28179642191467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76162146} λ = 0.76162146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28179642191467))-π/2
    2×atan(9.79425923723757)-π/2
    2×1.46904828198848-π/2
    2.93809656397697-1.57079632675     		φ = 1.36730024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76162146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36730024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.340533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81424 KachelY 17936 0.76162146 1.36730024 43.637695 78.340533
    Oben rechts KachelX + 1 81425 KachelY 17936 0.76166940 1.36730024 43.640442 78.340533
    Unten links KachelX 81424 KachelY + 1 17937 0.76162146 1.36729055 43.637695 78.339978
    Unten rechts KachelX + 1 81425 KachelY + 1 17937 0.76166940 1.36729055 43.640442 78.339978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36730024-1.36729055) × R
    9.68999999995113e-06 × 6371000     		dl = 61.7349899996886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36730024-1.36729055) × R
    9.68999999995113e-06 × 6371000     		dr = 61.7349899996886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76162146-0.76166940) × cos(1.36730024) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.20209450750713 × 6371000     		do = 61.7248645054034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76162146-0.76166940) × cos(1.36729055) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.20210399755442 × 6371000     		du = 61.7277630101195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36730024)-sin(1.36729055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20209450750713-0.20210399755442)×R²
    abs(0.76166940-0.76162146)×9.49004728972858e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.49004728972858e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.49004728972858e-06×40589641000000     		ar = 3810.67336270455m²