Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 816 / 1392
↖ ↑ ↗
← S 54.162434°
W 36.562500°		 ← 11.444 km → S 54.162434°
W 36.386719°		 →
↑
11.430 km
↓
↑
11.430 km
↓
S 54.265224°
W 36.562500°		 ← 11.416 km →
130.639 km²		 S 54.265224°
W 36.386719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398681640625 y=0.679931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398681640625 × 211)
    floor (0.398681640625 × 2048)
    floor (816.5)     		tx = 816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679931640625 × 211)
    floor (0.679931640625 × 2048)
    floor (1392.5)     		ty = 1392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 816 / 1392 ti = "11/816/1392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/816/1392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 816 ÷ 211
    816 ÷ 2048     		x = 0.3984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1392 ÷ 211
    1392 ÷ 2048     		y = 0.6796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3984375 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6796875 × 2 - 1) × π
    -0.359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12900985985156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63813601} λ = -0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12900985985156))-π/2
    2×atan(0.323353263018262)-π/2
    2×0.312741761588495-π/2
    0.62548352317699-1.57079632675     		φ = -0.94531280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94531280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.162434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 816 KachelY 1392 -0.63813601 -0.94531280 -36.562500 -54.162434
    Oben rechts KachelX + 1 817 KachelY 1392 -0.63506805 -0.94531280 -36.386719 -54.162434
    Unten links KachelX 816 KachelY + 1 1393 -0.63813601 -0.94710683 -36.562500 -54.265224
    Unten rechts KachelX + 1 817 KachelY + 1 1393 -0.63506805 -0.94710683 -36.386719 -54.265224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94531280--0.94710683) × R
    0.00179403 × 6371000     		dl = 11429.76513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94531280--0.94710683) × R
    0.00179403 × 6371000     		dr = 11429.76513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63813601--0.63506805) × cos(-0.94531280) × R
    0.00306795999999998 × 0.585489326925804 × 6371000     		do = 11443.9586695582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63813601--0.63506805) × cos(-0.94710683) × R
    0.00306795999999998 × 0.584034001048921 × 6371000     		du = 11415.5129090295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94531280)-sin(-0.94710683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585489326925804-0.584034001048921)×R²
    abs(-0.63506805--0.63813601)×0.00145532587688357×R²
    0.00306795999999998×0.00145532587688357×6371000²
    0.00306795999999998×0.00145532587688357×40589641000000     		ar = 130639230.608583m²