Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8162 / 8162
↖ ↑ ↗
← N  0.659165°
W  0.659180°		 ← 2 443.12 m → N  0.659165°
W  0.637207°		 →
↑
2 443.09 m
↓
↑
2 443.09 m
↓
N  0.637194°
W  0.659180°		 ← 2 443.13 m →
5 968 761 m²		 N  0.637194°
W  0.637207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498199462890625 y=0.498199462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498199462890625 × 214)
    floor (0.498199462890625 × 16384)
    floor (8162.5)     		tx = 8162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498199462890625 × 214)
    floor (0.498199462890625 × 16384)
    floor (8162.5)     		ty = 8162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8162 / 8162 ti = "14/8162/8162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8162/8162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8162 ÷ 214
    8162 ÷ 16384     		x = 0.4981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8162 ÷ 214
    8162 ÷ 16384     		y = 0.4981689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4981689453125 × 2 - 1) × π
    0.003662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0115048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01150486} λ = -0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0115048559088135))-π/2
    2×atan(1.01157129129562)-π/2
    2×0.791150464455854-π/2
    1.58230092891171-1.57079632675     		φ = 0.01150460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01150460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.659165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8162 KachelY 8162 -0.01150486 0.01150460 -0.659180 0.659165
    Oben rechts KachelX + 1 8163 KachelY 8162 -0.01112136 0.01150460 -0.637207 0.659165
    Unten links KachelX 8162 KachelY + 1 8163 -0.01150486 0.01112113 -0.659180 0.637194
    Unten rechts KachelX + 1 8163 KachelY + 1 8163 -0.01112136 0.01112113 -0.637207 0.637194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01150460-0.01112113) × R
    0.00038347 × 6371000     		dl = 2443.08737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01150460-0.01112113) × R
    0.00038347 × 6371000     		dr = 2443.08737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01150486--0.01112136) × cos(0.01150460) × R
    0.0003835 × 0.999933822819336 × 6371000     		do = 2443.11681071729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01150486--0.01112136) × cos(0.01112113) × R
    0.0003835 × 0.999938160871118 × 6371000     		du = 2443.12740978595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01150460)-sin(0.01112113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999933822819336-0.999938160871118)×R²
    abs(-0.01112136--0.01150486)×4.33805178234881e-06×R²
    0.0003835×4.33805178234881e-06×6371000²
    0.0003835×4.33805178234881e-06×40589641000000     		ar = 5968760.8440653m²